Derive a função.
26. f(x)=\frac{a x+b}{c x+d}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada de
f(x)=\frac{a x + b}{c x + d},
onde a, b, c e d são constantes. Vamos usar a regra do quociente, que é a técnica de derivação apropriada quando temos uma função definida como u(x)/v(x).

Passo 2

Seja
u(x)=a x + b
e
v(x)=c x + d.
Como são funções lineares, suas derivadas são constantes:
u'(x)=a
v'(x)=c.

Passo 3

Aplicando a regra do quociente,
f'(x) =\frac{u'(x)\,v(x)-u(x)\,v'(x)}{\bigl(v(x)\bigr)^{2}} =\frac{a\,(c x+d)-(a x+b)\,c}{(c x+d)^{2}}.
Agora distribuímos e simplificamos o numerador:
a c x + a d - a c x - b c = a d - b c.
Logo,
f'(x)=\frac{a d - b c}{(c x + d)^{2}}.

Resposta

f'(x)=\frac{a d - b c}{(c x + d)^{2}}.

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