Derive a função.
24. f(x)=\frac{1-x e^{x}}{x+e^{x}}

Passo 1

O enunciado pede para derivar a função
f(x) = \frac{1 - x e^x}{x + e^x}.
O conteúdo necessário é a regra do quociente para derivadas, bem como a regra do produto ao derivar x e^x.

Passo 2

Definimos
u(x) = 1 - x e^x, \qquad v(x) = x + e^x.
Derivando u(x) pela regra do produto em x e^x:
u'(x) = 0 - \bigl(e^x + x e^x\bigr) = -e^x\bigl(1 + x\bigr).
Derivando v(x):
v'(x) = 1 + e^x.

Passo 3

Pela regra do quociente,
f'(x) = \frac{u'(x)\,v(x) - u(x)\,v'(x)}{\bigl(v(x)\bigr)^2} = \frac{-e^x(1+x)\,(x+e^x)\;-\;(1 - x e^x)\,(1 + e^x)}{(x+e^x)^2}.

Passo 4

Vamos expandir o numerador e simplificar:
  1. Primeiro termo:
-e^x(1+x)(x+e^x) = -\bigl(x^2 e^x + x e^x + x e^{2x} + e^{2x}\bigr).
  1. Segundo termo (com sinal negativo):
-(1 - x e^x)(1 + e^x) = -(1 + e^x - x e^x - x e^{2x}) = -1 - e^x + x e^x + x e^{2x}.
Somando-os:
\text{num} = -\bigl(x^2 e^x + x e^x + x e^{2x} + e^{2x}\bigr) -\bigl(1 + e^x - x e^x - x e^{2x}\bigr).
Os termos x e^x e x e^{2x} se cancelam, sobrando
\text{num} = -x^2 e^x - e^{2x} - e^x - 1 = -\bigl(x^2 e^x + e^{2x} + e^x + 1\bigr).

Resposta

f'(x) = -\frac{x^2 e^x + e^{2x} + e^x + 1}{(x + e^x)^2}.

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