Derive a função dada e simplifique o resultado:
f(x)=\ln \left(\frac{x}{\ln x}\right)

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=\ln\!\biggl(\frac{x}{\ln x}\biggr)
O conteúdo envolve derivada de logaritmo e uso da regra da cadeia.

Passo 2

Usamos a identidade \ln(a/b)=\ln a-\ln b para reescrever f:
f(x)=\ln x \;-\;\ln\bigl(\ln x\bigr).

Passo 3

Derivamos cada termo separadamente:
A derivada de \ln x é
\frac{d}{dx}\ln x = \frac{1}{x}.
Para \ln(\ln x) aplicamos a regra da cadeia \frac{d}{dx}\ln u = u'/u com u=\ln x:
\frac{d}{dx}\ln(\ln x) = \frac{\frac{d}{dx}(\ln x)}{\ln x} = \frac{\tfrac{1}{x}}{\ln x} = \frac{1}{x\,\ln x}.
Logo,
f'(x)=\frac{1}{x}\;-\;\frac{1}{x\,\ln x}.

Passo 4

Para simplificar, colocamos em denominar comum x\,\ln x:
f'(x) = \frac{1}{x}-\frac{1}{x\,\ln x} = \frac{\ln x}{x\,\ln x}-\frac{1}{x\,\ln x} = \frac{\ln x-1}{x\,\ln x}.

Resposta

f'(x)=\frac{\ln x - 1}{x\,\ln x}.

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