Derive a função.
f(x)=\ln \left(\frac{x}{1+x^{2}}\right)

Passo 1

O enunciado pede a derivada da função
f(x)=\ln\!\biggl(\frac{x}{1+x^{2}}\biggr)
Aqui vamos usar a propriedade de logaritmo para simplificar e em seguida aplicar as regras de derivação (derivada de \ln e soma/diferença de funções).

Passo 2

Aplicamos a identidade
\ln\bigl(\tfrac{a}{b}\bigr)=\ln(a)-\ln(b).
Assim,
f(x)=\ln(x)-\ln(1+x^{2}).

Passo 3

Derivamos cada termo separadamente. Sabemos que
\frac{d}{dx}\ln(x)=\frac{1}{x},
\frac{d}{dx}\ln(1+x^{2})=\frac{2x}{1+x^{2}}.
Logo,
f'(x)=\frac{1}{x}-\frac{2x}{1+x^{2}}.

Passo 4

Para simplificar, colocamos tudo sobre o mesmo denominador x(1+x^{2}). O numerador fica
1+x^{2}-2x^{2}=1-x^{2}.
Portanto,
f'(x)=\frac{1-x^{2}}{x(1+x^{2})}.

Resposta

f'(x)=\frac{1-x^{2}}{x(1+x^{2})}.

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