Derive a função.
f(x)=\frac{x}{x+\ln x}

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x) = \frac{x}{x + \ln x}
Este é um problema de derivação de quociente, em que usaremos a regra do quociente e conhecimento de derivada de \ln x.

Passo 2

Observamos que a função está definida para x>0 (para que \ln x faça sentido). Vamos aplicar a regra do quociente: se f(x)=\tfrac{u(x)}{v(x)}, então
f'(x)=\frac{u'(x)\,v(x)-u(x)\,v'(x)}{\bigl(v(x)\bigr)^2}.

Passo 3

Identificamos
u(x)=x,\quad v(x)=x+\ln x.
Então
u'(x)=1,\quad v'(x)=1+\frac{1}{x}.

Passo 4

Substituindo na regra do quociente, obtemos
f'(x) =\frac{1\cdot\bigl(x+\ln x\bigr)\;-\;x\cdot\Bigl(1+\frac{1}{x}\Bigr)}{\bigl(x+\ln x\bigr)^2}.

Passo 5

Simplificando o numerador:
1\cdot(x+\ln x)-x\Bigl(1+\tfrac{1}{x}\Bigr) = x+\ln x - x - 1 = \ln x - 1.
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f'(x)=\frac{\ln x - 1}{\bigl(x+\ln x\bigr)^2}.

Resposta

f'(x)=\frac{\ln x - 1}{(x+\ln x)^2}.

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