Derive a função.
f(x)=x \ln x-x

Passo 1

O enunciado pede a derivada da função
f(x)=x\ln x - x.
O conteúdo é derivação de produto e uso da regra da derivada do logaritmo natural. Vamos precisar da regra do produto e da fórmula
\frac{d}{dx}\ln x = \frac{1}{x}.

Passo 2

Separe o termo x\ln x e aplique a regra do produto: se u(x)=x e v(x)=\ln x, então
u'(x)=1,\quad v'(x)=\frac{1}{x},
e
\frac{d}{dx}\bigl[x\ln x\bigr] = u'(x)\,v(x)+u(x)\,v'(x) =1\cdot\ln x + x\cdot\frac{1}{x} =\ln x + 1.

Passo 3

Agora derive o termo -x. Como \frac{d}{dx}x=1, temos
\frac{d}{dx}(-x)=-1.

Passo 4

Combine as duas partes:
f'(x)=\frac{d}{dx}\bigl[x\ln x\bigr]+\frac{d}{dx}(-x) =(\ln x + 1)+(-1) =\ln x.

Resposta

f'(x)=\ln x.

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