Derive a função.
f(x)=\ln \left(\operatorname{sen} x^{2}\right)

Passo 1

O enunciado pede a derivada da função
f(x)=\ln\bigl(\operatorname{sen}(x^2)\bigr).
O conteúdo envolvido é derivação de logaritmo e uso da regra da cadeia para funções compostas.

Passo 2

Para f(x)=\ln(u(x)), usamos a fórmula
f'(x)=\frac{u'(x)}{u(x)}.
Aqui u(x)=\operatorname{sen}(x^2).

Passo 3

Calculamos u'(x). Como u(x)=\operatorname{sen}(v) com v=x^2, aplicamos a regra da cadeia:
\frac{d}{dx}\bigl(\operatorname{sen}(v)\bigr)=\cos(v)\cdot v'(x).
E como v(x)=x^2, temos v'(x)=2x. Logo,
u'(x)=\cos(x^2)\cdot 2x.

Passo 4

Substituindo na derivada de f:
f'(x) =\frac{u'(x)}{u(x)} =\frac{2x\,\cos(x^2)}{\operatorname{sen}(x^2)}.

Passo 5

Reconhecendo que \cos(x^2)/\operatorname{sen}(x^2)=\cot(x^2), obtemos a forma final
f'(x)=2x\,\cot(x^2).

Resposta

f'(x)=2x\,\cot(x^2).

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