Encontre d y / d x por derivação implícita.
x^{2}+x y+y^{2}=4

Passo 1

O enunciado nos dá a curva implícita
x^{2} + x\,y + y^{2} = 4
e pede para encontrar \dfrac{dy}{dx} via diferenciação implícita. Vamos usar a regra da soma, a regra do produto (para x\,y) e a regra da cadeia (para y^{2}, lembrando que y depende de x).

Passo 2

Diferenciamos ambos os lados em relação a x:
\frac{d}{dx}\bigl(x^{2}\bigr) + \frac{d}{dx}\bigl(x\,y\bigr) + \frac{d}{dx}\bigl(y^{2}\bigr) = \frac{d}{dx}(4).
Aplicando as regras temos
2x + \bigl(1\cdot y + x\cdot \tfrac{dy}{dx}\bigr) + 2y\cdot \tfrac{dy}{dx} = 0.

Passo 3

Agrupamos os termos que envolvem \tfrac{dy}{dx} de um lado e os demais do outro:
2x + y + x\frac{dy}{dx} + 2y\frac{dy}{dx} = 0 \quad\Longrightarrow\quad x\frac{dy}{dx} + 2y\frac{dy}{dx} = -\bigl(2x + y\bigr).
Fatorando \tfrac{dy}{dx}:
\bigl(x + 2y\bigr)\frac{dy}{dx} = -\bigl(2x + y\bigr).

Passo 4

Isolamos \dfrac{dy}{dx} dividindo pelo fator x+2y:
\frac{dy}{dx} = -\frac{2x + y}{x + 2y}.

Resposta

\displaystyle \frac{dy}{dx} = -\frac{2x + y}{x + 2y}.

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