Derive a função.
f(x)=4^{3 \operatorname{sen} x-e^{x}}

Passo 1

O enunciado pede a derivada da função
f(x)=4^{3\operatorname{sen} x - e^x}.
O conteúdo necessário envolve a derivação de uma exponencial de base fixa e a regra da cadeia. Em particular, vamos usar que, para a>0 constante e u=u(x),
\frac{d}{dx}\bigl(a^{u(x)}\bigr)=a^{u(x)}\ln(a)\,u'(x).

Passo 2

Definimos a função interna
u(x)=3\operatorname{sen} x - e^x.
Então podemos escrever
f(x)=4^{u(x)}=e^{u(x)\ln(4)}.
Ao derivar e^{u(x)\ln(4)} pela regra da cadeia, obtemos
\frac{d}{dx}4^{u(x)}=e^{u(x)\ln(4)}\cdot\ln(4)\,u'(x) =4^{u(x)}\ln(4)\,u'(x).

Passo 3

Agora calculamos u'(x). Como
u(x)=3\operatorname{sen} x - e^x,
usando que \frac{d}{dx}\operatorname{sen} x=\cos x e \frac{d}{dx}e^x=e^x, vem
u'(x)=3\cos x - e^x.

Passo 4

Substituindo u(x) e u'(x) na fórmula da derivada, fica
f'(x)=4^{3\operatorname{sen} x - e^x}\,\ln(4)\,\bigl(3\cos x - e^x\bigr).

Resposta

f'(x)=4^{3\operatorname{sen} x - e^x}\,\ln(4)\,\bigl(3\cos x - e^x\bigr).

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