Derive a função:
f(x)=\pi+\sqrt{2}

Passo 1

O enunciado fornece a função f(x)=\pi+\sqrt{2} e pede para “derivar” essa função (ou seja, encontrar f'(x)).
Informações relevantes que o problema dá:
  • \pi é uma constante numérica (aprox. 3{,}1415\ldots).
  • \sqrt{2} é outra constante numérica (aprox. 1{,}4142\ldots).
  • Ambas as parcelas não dependem de x.
    O que se pede: calcular a derivada de f em relação a x, isto é, encontrar a expressão de f'(x).

Passo 2

O que significa derivar aqui (definição que vou usar). A derivada de uma função num ponto mede a taxa de variação da função em relação a x. A definição limite da derivada é:
f'(x)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}.
Nesta fórmula:
  • h é um incremento pequeno em x;
  • f(x+h) é o valor da função quando avançamos h em x;
  • a razão \dfrac{f(x+h)-f(x)}{h} é a taxa média de variação em um intervalo de comprimento h;
  • o limite quando h\to0 dá a taxa instantânea (a derivada).

Passo 3

Calcular f(x+h) para a função dada. Como f(x) não tem nenhum termo com x (é pura constante), temos:
f(x+h)=\pi+\sqrt{2}.
Note que f(x+h) é exatamente igual a f(x), porque a função não muda quando x varia.

Passo 4

Formar a diferença f(x+h)-f(x) e a razão do quociente diferencial:
f(x+h)-f(x)=(\pi+\sqrt{2})-(\pi+\sqrt{2})=0.
Portanto a razão é
\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\frac{0}{h}=0\quad\text{(para todo }h\neq0\text{)}.

Passo 5

Tomar o limite quando h\to0:
f'(x)=\lim_{h\to0}0=0.
Ou seja, o limite da razão é 0, portanto a derivada é 0.

Passo 6

Regra prática e interpretação: a função é uma constante (soma de constantes). A regra geral é: se f(x)=c com c constante, então f'(x)=0. Geometricamente, o gráfico de f é uma reta horizontal, cuja inclinação é 0. Isso significa que não importa qual x escolha, a taxa de variação é nula. Um exemplo extra e rápido para fixar: se g(x)=5, então g'(x)=0; se h(x)=\pi+\sqrt{2}+x, então h'(x)=1 (porque a derivada de x é 1 e a das constantes é 0).

Resposta

f'(x)=0

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