Seja f(x)=\frac{x^{2}}{1+2 x}.
a) Encontre f^{\prime}(x) e f^{\prime \prime}(x);
b) Encontre uma equação da reta tangente à curva y=f(x) no ponto ( -1, f(-1) );
c) Encontre uma equação da reta tangente à curva y=f^{\prime}(x) no ponto ( 0, f^{\prime}(0) )

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado pede e quais informações temos.
  • A função dada é f(x)=\dfrac{x^{2}}{1+2x}.
  • O enunciado faz três pedidos:
    1. Calcular f^{\prime}(x).
    2. Calcular f^{\prime\prime}(x).
    3. Achar a equação da reta tangente à curva y=f(x) no ponto (-1,f(-1)).
    4. Achar a equação da reta tangente à curva y=f^{\prime}(x) no ponto (0,f^{\prime}(0)).
Informações úteis extraídas do enunciado (já estão na definição de f):
  • Numerador: u(x)=x^{2}.
  • Denominador: v(x)=1+2x.

Passo 2

Calcular f^{\prime}(x) usando a regra do quociente. Vou explicar a regra antes de aplicar:
  • Regra do quociente: se \displaystyle f(x)=\frac{u(x)}{v(x)} com u e v diferenciáveis e v(x)\neq0, então
\left(\frac{u}{v}\right)'=\frac{u'v-uv'}{v^{2}}.
Aqui u(x)=x^{2} e v(x)=1+2x. Então calculo u' e v':
u'(x)=\frac{d}{dx}(x^{2})=2x, \qquad v'(x)=\frac{d}{dx}(1+2x)=2.
Agora aplico a regra do quociente:
f'(x)=\frac{u'v-uv'}{v^{2}}=\frac{(2x)(1+2x)-(x^{2})(2)}{(1+2x)^{2}}.
Vou desenvolver o numerador passo a passo:
(2x)(1+2x)=2x+4x^{2}, \qquad (x^{2})(2)=2x^{2}.
Subtraindo:
2x+4x^{2}-2x^{2}=2x+2x^{2}.
Portanto
f'(x)=\frac{2x+2x^{2}}{(1+2x)^{2}}.
Posso fatorar 2x no numerador para simplificar a forma:
f'(x)=\frac{2x(1+x)}{(1+2x)^{2}}.

Passo 3

Calcular f^{\prime\prime}(x). Vou explicar e aplicar as regras necessárias: produto, potência e cadeia.
É conveniente reescrever f'(x) como produto para aplicar produto + cadeia:
f'(x)=2x(1+x)(1+2x)^{-2}.
Aqui considero duas partes: g(x)=2x(1+x)=2x+2x^{2} e h(x)=(1+2x)^{-2}. Pela regra do produto,
(f')' = g' h + g h'.
Calculo g' e h':
  • g(x)=2x+2x^{2} então
g'(x)=2+4x.
  • h(x)=(1+2x)^{-2}. Aplicando a regra da cadeia: se h(x)=\varphi(\psi(x)) com \varphi(t)=t^{-2} e \psi(x)=1+2x, então \varphi'(t)=-2 t^{-3} e \psi'(x)=2. Logo
h'(x)=\varphi'(\psi(x))\psi'(x)=-2(1+2x)^{-3}\cdot 2 = -4(1+2x)^{-3}.
Agora uso a fórmula do produto:
f''(x)=g'(x)h(x)+g(x)h'(x)=(2+4x)(1+2x)^{-2} + (2x+2x^{2})\big(-4(1+2x)^{-3}\big).
Para somar as parcelas, fatoro (1+2x)^{-3} (o menor expoente):
f''(x)=(1+2x)^{-3}\Big[(2+4x)(1+2x) -4(2x+2x^{2})\Big].
Agora calculo o que está entre colchetes passo a passo:
(2+4x)(1+2x)=2\cdot1 + 2\cdot 2x + 4x\cdot1 + 4x\cdot2x = 2 + 4x +4x +8x^{2}=2+8x+8x^{2}.
E
4(2x+2x^{2})=8x+8x^{2}.
Subtraindo:
(2+8x+8x^{2}) - (8x+8x^{2}) = 2.
Portanto o termo entre colchetes é simplesmente 2. Assim
f''(x)=(1+2x)^{-3}\cdot 2 = \frac{2}{(1+2x)^{3}}.
Resumo dos derivados:
f'(x)=\frac{2x(1+x)}{(1+2x)^{2}}, \qquad f''(x)=\frac{2}{(1+2x)^{3}}.

Passo 4

Equação da reta tangente à curva y=f(x) no ponto (-1,f(-1)).
Primeiro calculo f(-1):
f(-1)=\frac{(-1)^{2}}{1+2(-1)}=\frac{1}{1-2}=\frac{1}{-1}=-1.
Então o ponto é (-1,-1).
A inclinação da reta tangente é m=f'(-1). Uso a expressão de f'(x):
f'(-1)=\frac{2(-1)(1+(-1))}{(1+2(-1))^{2}}=\frac{2(-1)(0)}{(1-2)^{2}}=0.
Logo a inclinação é 0 — reta horizontal.
A equação da reta tangente no ponto (x_{0},y_{0}) com inclinação m é a forma ponto-inclinação:
y-y_{0}=m(x-x_{0}).
Substituindo x_{0}=-1, y_{0}=-1 e m=0:
y-(-1)=0\cdot(x-(-1)) \quad\Rightarrow\quad y+1=0 \quad\Rightarrow\quad y=-1.

Passo 5

Equação da reta tangente à curva y=f'(x) no ponto (0,f'(0)).
Primeiro calculo f'(0):
f'(0)=\frac{2\cdot 0\cdot(1+0)}{(1+0)^{2}}=0.
Então o ponto é (0,0).
A inclinação da reta tangente a y=f'(x) no ponto x=0 é a derivada de f' naquele ponto, ou seja f''(0). Usando a expressão de f''(x):
f''(0)=\frac{2}{(1+2\cdot 0)^{3}}=\frac{2}{1^{3}}=2.
Logo a inclinação é 2.
Usando a forma ponto-inclinação com x_{0}=0, y_{0}=0 e m=2:
y-0=2(x-0)\quad\Rightarrow\quad y=2x.

Resposta

f'(x)=\dfrac{2x(1+x)}{(1+2x)^{2}}
f''(x)=\dfrac{2}{(1+2x)^{3}}
Equação da reta tangente a y=f(x) em (-1,f(-1)): y=-1
Equação da reta tangente a y=f'(x) em (0,f'(0)): y=2x

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