Seja
.
a) Encontre
e
;
b) Encontre uma equação da reta tangente à curva
no ponto (
);
c) Encontre uma equação da reta tangente à curva
no ponto (
)
a) Encontre
b) Encontre uma equação da reta tangente à curva
c) Encontre uma equação da reta tangente à curva
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado pede e quais informações temos.
- A função dada é
. - O enunciado faz três pedidos:
- Calcular
. - Calcular
. - Achar a equação da reta tangente à curva
no ponto . - Achar a equação da reta tangente à curva
no ponto .
- Calcular
Informações úteis extraídas do enunciado (já estão na definição de
):
- Numerador:
. - Denominador:
.
Passo 2
Calcular
usando a regra do quociente. Vou explicar a regra antes de aplicar:
- Regra do quociente: se
com e diferenciáveis e , então
Aqui
e
. Então calculo
e
:
Agora aplico a regra do quociente:
Vou desenvolver o numerador passo a passo:
Subtraindo:
Portanto
Posso fatorar
no numerador para simplificar a forma:
Passo 3
Calcular
. Vou explicar e aplicar as regras necessárias: produto, potência e cadeia.
É conveniente reescrever
como produto para aplicar produto + cadeia:
Aqui considero duas partes:
e
. Pela regra do produto,
Calculo
e
:
-
então
-
. Aplicando a regra da cadeia: se com e , então e . Logo
Agora uso a fórmula do produto:
Para somar as parcelas, fatoro
(o menor expoente):
Agora calculo o que está entre colchetes passo a passo:
E
Subtraindo:
Portanto o termo entre colchetes é simplesmente
. Assim
Resumo dos derivados:
Passo 4
Equação da reta tangente à curva
no ponto
.
Primeiro calculo
:
Então o ponto é
.
A inclinação da reta tangente é
. Uso a expressão de
:
Logo a inclinação é
— reta horizontal.
A equação da reta tangente no ponto
com inclinação
é a forma ponto-inclinação:
Substituindo
,
e
:
Passo 5
Equação da reta tangente à curva
no ponto
.
Primeiro calculo
:
Então o ponto é
.
A inclinação da reta tangente a
no ponto
é a derivada de
naquele ponto, ou seja
. Usando a expressão de
:
Logo a inclinação é
.
Usando a forma ponto-inclinação com
,
e
:
Resposta
Equação da reta tangente a
em
:
Equação da reta tangente a
em
: