Derive a função:
h(x)=x^{-\frac{2}{5}}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada da função h(x)=x^{-\frac{2}{5}}.
Informações dadas e observações imediatas:
  • A função é h(x)=x^{-\frac{2}{5}}.
  • Como x^{-\frac{2}{5}}=\dfrac{1}{x^{\frac{2}{5}}} e x^{\frac{2}{5}}=(\sqrt[5]{x})^{2}, a função não está definida em x=0. Logo o domínio natural de h é x\neq0.

Passo 2

Apresentando a regra que vamos usar (explicada passo a passo): a regra de potência diz que, para todo número real n, a derivada de x^{n} em pontos onde a expressão faz sentido é
\frac{d}{dx}\left(x^{n}\right)=n\,x^{n-1}.
O que isso significa, com palavras simples:
  • x^{n} é a função que eleva x à potência n.
  • A derivada é obtida multiplicando por n e reduzindo a potência em uma unidade (ou seja, subtraindo 1 do expoente).
    Observações sobre domínio e validade:
  • Para expoentes inteiros a demonstração é elementar (expandindo produtos). Para expoentes racionais ou reais usa-se, por exemplo, diferenciação logarítmica (para x>0) e extensão para casos de raiz ímpar quando apropriado. No nosso exercício o expoente é racional com denominador 5 (ímpar), então a função está bem definida para x\neq0 e a regra de potência vale nesses pontos.

Passo 3

Aplicando a regra de potência ao nosso caso: aqui o expoente é n=-\dfrac{2}{5}. Então
\frac{d}{dx}\left(x^{-\frac{2}{5}}\right)=\left(-\frac{2}{5}\right)x^{-\frac{2}{5}-1}.
Agora calculamos o novo expoente:
-\frac{2}{5}-1=-\frac{2}{5}-\frac{5}{5}=-\frac{7}{5}.
Portanto, a forma direta da derivada é
h'(x)=-\frac{2}{5}\,x^{-\frac{7}{5}}.

Passo 4

Escrever a derivada numa forma mais usual de fração (sem expoente negativo) ajuda a interpretar o sinal e o domínio:
h'(x)=-\frac{2}{5}\,x^{-\frac{7}{5}}=-\frac{2}{5\,x^{\frac{7}{5}}}.
Também é útil notar que x^{\frac{7}{5}}=(\sqrt[5]{x})^{7} e que a derivada existe para todos os x\neq0.

Passo 5

Interpretações rápidas e um exemplo numérico sem calculadora:
  • Sinal: para x>0 tem-se x^{\frac{7}{5}}>0 então h'(x)<0. Para x<0 a raiz quinta de x é negativa e elevando-a à sétima potência fica negativa, então o denominador é negativo e h'(x)>0. Isso faz sentido porque h é par (depende de x^{2/5}) e a derivada de uma função par é ímpar.
  • Exemplo prático: calcule h'(32). Como \sqrt[5]{32}=2, tem-se 32^{-\frac{7}{5}}=2^{-7}=\dfrac{1}{128}. Assim
h'(32)=-\frac{2}{5}\cdot\frac{1}{128}=-\frac{1}{320}.

Resposta

h'(x)=-\frac{2}{5}\,x^{-\frac{7}{5}}=-\frac{2}{5\,x^{\frac{7}{5}}},\qquad x\neq0

Exercícios relacionados