Derive a função:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a derivada da função
.
Informações dadas e observações imediatas:
Informações dadas e observações imediatas:
- A função é
. - Como
e , a função não está definida em . Logo o domínio natural de é .
Passo 2
Apresentando a regra que vamos usar (explicada passo a passo): a regra de potência diz que, para todo número real
, a derivada de
em pontos onde a expressão faz sentido é
O que isso significa, com palavras simples:
-
é a função que eleva à potência . - A derivada é obtida multiplicando por
e reduzindo a potência em uma unidade (ou seja, subtraindo do expoente).
Observações sobre domínio e validade: - Para expoentes inteiros a demonstração é elementar (expandindo produtos). Para expoentes racionais ou reais usa-se, por exemplo, diferenciação logarítmica (para
) e extensão para casos de raiz ímpar quando apropriado. No nosso exercício o expoente é racional com denominador (ímpar), então a função está bem definida para e a regra de potência vale nesses pontos.
Passo 3
Aplicando a regra de potência ao nosso caso: aqui o expoente é
. Então
Agora calculamos o novo expoente:
Portanto, a forma direta da derivada é
Passo 4
Escrever a derivada numa forma mais usual de fração (sem expoente negativo) ajuda a interpretar o sinal e o domínio:
Também é útil notar que
e que a derivada existe para todos os
.
Passo 5
Interpretações rápidas e um exemplo numérico sem calculadora:
- Sinal: para
tem-se então . Para a raiz quinta de é negativa e elevando-a à sétima potência fica negativa, então o denominador é negativo e . Isso faz sentido porque é par (depende de ) e a derivada de uma função par é ímpar. - Exemplo prático: calcule
. Como , tem-se . Assim