Derive a função:
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede a sua derivada:
Informações relevantes:
- A variável independente é
. - O objetivo é calcular
.
Passo 2
Regra que vamos usar — a regra da potência (explicação didática):
- Para um expoente real
, a derivada da função em relação a é
O que isso significa: o expoente
desce multiplicando a expressão e depois diminui 1 do expoente. Exemplo simples para fixar a ideia: se
então, aplicando a regra,
(o
desceu e o expoente virou
).
Observação sobre domínio: para expoentes racionais com denominador ímpar (como ,
, etc.) as potências são definidas para
negativo também (pela raiz cúbica), mas cuidado em
quando aparecer potências negativas (divisão por zero).
Observação sobre domínio: para expoentes racionais com denominador ímpar (como
Passo 3
Derivando o primeiro termo
usando a regra da potência:
- Aqui
. - Subtraindo 1 do expoente:
. - Multiplicando pelo expoente:
Interpretação alternativa:
.
Passo 4
Derivando o segundo termo
:
- Aqui
. - Subtraindo 1 do expoente:
. - Multiplicando pelo expoente:
Interpretação alternativa:
(não definida em
).
Passo 5
Juntando as duas derivadas (derivada de uma diferença é a diferença das derivadas):
Podemos simplificar fatorando o fator comum
:
Forma equivalente usando raiz cúbica:
Passo 6
Comentário sobre existência da derivada:
- As expressões acima são válidas para
. - Em
a derivada não existe, porque ao tentar calcular o quociente de diferença surge um termo do tipo que diverge quando .