Derive a função:
H(s)=s^{\frac{5}{3}}-s^{\frac{2}{3}}

Passo 1

O enunciado dá a função H e pede a sua derivada:
H(s)=s^{\frac{5}{3}}-s^{\frac{2}{3}}.
Informações relevantes:
  • A variável independente é s.
  • O objetivo é calcular H'(s)=\dfrac{d}{ds}H(s).

Passo 2

Regra que vamos usar — a regra da potência (explicação didática):
  • Para um expoente real n, a derivada da função s^n em relação a s é
\frac{d}{ds}s^n = n\,s^{n-1}.
O que isso significa: o expoente n desce multiplicando a expressão e depois diminui 1 do expoente. Exemplo simples para fixar a ideia: se f(s)=s^3 então, aplicando a regra, \dfrac{d}{ds}s^3=3s^{2} (o 3 desceu e o expoente virou 3-1=2).
Observação sobre domínio: para expoentes racionais com denominador ímpar (como 1/3, 2/3, etc.) as potências são definidas para s negativo também (pela raiz cúbica), mas cuidado em s=0 quando aparecer potências negativas (divisão por zero).

Passo 3

Derivando o primeiro termo s^{\frac{5}{3}} usando a regra da potência:
  • Aqui n=\dfrac{5}{3}.
  • Subtraindo 1 do expoente: \dfrac{5}{3}-1=\dfrac{2}{3}.
  • Multiplicando pelo expoente:
\frac{d}{ds}s^{\frac{5}{3}}=\frac{5}{3}\,s^{\frac{2}{3}}.
Interpretação alternativa: s^{\frac{2}{3}}=(\sqrt[3]{s})^{2}.

Passo 4

Derivando o segundo termo s^{\frac{2}{3}}:
  • Aqui n=\dfrac{2}{3}.
  • Subtraindo 1 do expoente: \dfrac{2}{3}-1=-\dfrac{1}{3}.
  • Multiplicando pelo expoente:
\frac{d}{ds}s^{\frac{2}{3}}=\frac{2}{3}\,s^{-\frac{1}{3}}.
Interpretação alternativa: s^{-\frac{1}{3}}=\dfrac{1}{\sqrt[3]{s}} (não definida em s=0).

Passo 5

Juntando as duas derivadas (derivada de uma diferença é a diferença das derivadas):
H'(s)=\frac{5}{3}\,s^{\frac{2}{3}}-\frac{2}{3}\,s^{-\frac{1}{3}}.
Podemos simplificar fatorando o fator comum \dfrac{1}{3}s^{-\frac{1}{3}}:
H'(s)=\frac{1}{3}s^{-\frac{1}{3}}(5s-2).
Forma equivalente usando raiz cúbica:
H'(s)=\frac{5s-2}{3\sqrt[3]{s}}.

Passo 6

Comentário sobre existência da derivada:
  • As expressões acima são válidas para s\neq 0.
  • Em s=0 a derivada não existe, porque ao tentar calcular o quociente de diferença surge um termo do tipo s^{-1/3} que diverge quando s\to 0.

Resposta

H'(s)=\frac{5}{3}\,s^{\frac{2}{3}}-\frac{2}{3}\,s^{-\frac{1}{3}}=\frac{1}{3}s^{-\frac{1}{3}}(5s-2)=\frac{5s-2}{3\sqrt[3]{s}}

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