Encontre a soma da série:
\sum_{n=1}^{\infty}(\operatorname{arctg}(n+1)-\operatorname{arctg}(n))

Passo 1

O que o problema pede: calcular a soma da série infinita
\sum_{n=1}^{\infty}\bigl(\operatorname{arctg}(n+1)-\operatorname{arctg}(n)\bigr).
Informações dadas e observações imediatas:
  • Cada termo da série é a diferença \operatorname{arctg}(n+1)-\operatorname{arctg}(n).
  • A soma é sobre n de 1 até +\infty.
  • A tarefa é encontrar o valor numérico (exato) dessa soma.

Passo 2

Definimos a soma parcial até N (isso é padrão para estudar séries):
S_N=\sum_{n=1}^{N}\bigl(\operatorname{arctg}(n+1)-\operatorname{arctg}(n)\bigr).
Explicando bem: a ideia de soma parcial é somar só até um N finito, analisar essa expressão e depois fazer N\to\infty. Assim controlamos a série passo a passo.

Passo 3

Agora expandimos S_N para ver o que acontece (isso é a parte “telescópica”):
\begin{aligned} S_N &= \bigl(\operatorname{arctg}(2)-\operatorname{arctg}(1)\bigr) \\\ &\quad +\bigl(\operatorname{arctg}(3)-\operatorname{arctg}(2)\bigr) \\\ &\quad +\bigl(\operatorname{arctg}(4)-\operatorname{arctg}(3)\bigr) +\cdots+\bigl(\operatorname{arctg}(N+1)-\operatorname{arctg}(N)\bigr). \end{aligned}
Observe que muitos termos se cancelam: \operatorname{arctg}(2) aparece com sinal + e com sinal -, o mesmo para \operatorname{arctg}(3),\operatorname{arctg}(4),\dots,\operatorname{arctg}(N). Isso é o que chamamos de uma soma telescópica: quase tudo “entra e sai”.
Após o cancelamento resta apenas:
S_N=\operatorname{arctg}(N+1)-\operatorname{arctg}(1).

Passo 4

Para recuperar a soma da série precisamos tomar o limite quando N\to\infty:
\sum_{n=1}^{\infty}\bigl(\operatorname{arctg}(n+1)-\operatorname{arctg}(n)\bigr)=\lim_{N\to\infty}S_N=\lim_{N\to\infty}\bigl(\operatorname{arctg}(N+1)-\operatorname{arctg}(1)\bigr).
Agora precisamos de duas coisas: o valor de \operatorname{arctg}(1) e o limite \lim_{x\to\infty}\operatorname{arctg}(x).
  • Primeiro, \operatorname{arctg}(1)=\dfrac{\pi}{4}, porque \tan\!\bigl(\tfrac{\pi}{4}\bigr)=1 e arctg é a função inversa da tangente em seu ramo principal.
  • Segundo, \displaystyle\lim_{x\to\infty}\operatorname{arctg}(x)=\dfrac{\pi}{2}. Intuição rápida: \tan cresce sem limite quando o ângulo se aproxima de \tfrac{\pi}{2} pela esquerda, então a inversa manda números grandes para ângulos próximos de \tfrac{\pi}{2}.
Portanto
\lim_{N\to\infty}\operatorname{arctg}(N+1)=\frac{\pi}{2}.

Passo 5

Substituindo os valores no limite:
\lim_{N\to\infty}\bigl(\operatorname{arctg}(N+1)-\operatorname{arctg}(1)\bigr)=\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{4}.
Uma checagem numérica rápida: somando alguns primeiros termos a soma parcial já se aproxima de 0{,}785\ldots, que é \pi/4 aproximado, consistente com o resultado.

Resposta

\dfrac{\pi}{4}

Exercícios relacionados