Encontre a soma da série:
Passo 1
O que o problema pede: calcular a soma da série infinita
Informações dadas e observações imediatas:
- Cada termo da série é a diferença
. - A soma é sobre
de até . - A tarefa é encontrar o valor numérico (exato) dessa soma.
Passo 2
Definimos a soma parcial até
(isso é padrão para estudar séries):
Explicando bem: a ideia de soma parcial é somar só até um
finito, analisar essa expressão e depois fazer
. Assim controlamos a série passo a passo.
Passo 3
Agora expandimos
para ver o que acontece (isso é a parte “telescópica”):
Observe que muitos termos se cancelam:
aparece com sinal
e com sinal
, o mesmo para
. Isso é o que chamamos de uma soma telescópica: quase tudo “entra e sai”.
Após o cancelamento resta apenas:
Passo 4
Para recuperar a soma da série precisamos tomar o limite quando
:
Agora precisamos de duas coisas: o valor de
e o limite
.
- Primeiro,
, porque e arctg é a função inversa da tangente em seu ramo principal. - Segundo,
. Intuição rápida: cresce sem limite quando o ângulo se aproxima de pela esquerda, então a inversa manda números grandes para ângulos próximos de .
Portanto
Passo 5
Substituindo os valores no limite:
Uma checagem numérica rápida: somando alguns primeiros termos a soma parcial já se aproxima de
, que é
aproximado, consistente com o resultado.