Derive as funções abaixo, deixando-as sempre na forma simplificada.
Passo 1
O enunciado pede para derivar e deixar simplificada a função dada. A função fornecida é:
Pergunta única: calcular
e apresentar a forma simplificada.
Informações relevantes que temos (diretamente do enunciado):
- A função é uma composição: uma função trigonométrica
aplicada à expressão . - A expressão interna é a soma de um polinômio
e de uma exponencial .
Passo 2
Estratégia escolhida: usar a Regra da Cadeia porque temos uma função composta
, com
e
.
Explicando a Regra da Cadeia de forma simples e prática: se
Explicando a Regra da Cadeia de forma simples e prática: se
então
Aqui
significa a derivada de
em relação à sua variável
, e depois substituímos
. A ideia intuitiva é: derivar primeiro a “casca” externa (mantendo a interna como está) e multiplicar pela derivada da “gema” interna. Vamos aplicar isso passo a passo.
Passo 3
Derivar a função externa
. Vou mostrar por que a derivada é
.
Uma maneira direta é usar
e a regra do quociente (ou produto com
). Fazendo a conta:
Agora escrevendo
obtemos
Portanto
.
Passo 4
Derivar a função interna
. Isso é simples porque derivada de soma é soma das derivadas, e as derivadas básicas são:
-
(regra do poder: trazer o expoente e diminuir 1), -
(a exponencial se deriva nela mesma).
Logo
Passo 5
Aplicar a Regra da Cadeia usando os resultados anteriores. Temos
e
, então
Multiplicando por
obtemos
Essa expressão já está em forma simplificada: não há fator comum óbvio a ser cancelado nem identidades trigonométricas que a deixem mais “simples” sem perder clareza. Podemos apenas reordenar fatores, por exemplo:
Passo 6
Um exemplo rápido para fixar: se em vez de
a parte interna fosse
, isto é
, então por Regra da Cadeia
. A lógica é a mesma: derivar
(dá
) e multiplicar pela derivada da parte interna (aqui
).
Força aí — essa cadeia de ideias (derivar a casca e multiplicar pela dérivada da parte de dentro) funciona para qualquer composição, praticando fica automático.