Derive as funções abaixo, deixando-as sempre na forma simplificada.
f(x)=\operatorname{sec} \left(x^{2}+e^{x}\right)

Passo 1

O enunciado pede para derivar e deixar simplificada a função dada. A função fornecida é:
f(x)=\operatorname{sec}\!\bigl(x^{2}+e^{x}\bigr).
Pergunta única: calcular f'(x) e apresentar a forma simplificada.
Informações relevantes que temos (diretamente do enunciado):
  • A função é uma composição: uma função trigonométrica \operatorname{sec} aplicada à expressão x^{2}+e^{x}.
  • A expressão interna é a soma de um polinômio x^{2} e de uma exponencial e^{x}.

Passo 2

Estratégia escolhida: usar a Regra da Cadeia porque temos uma função composta f(x)=g(h(x)), com g(u)=\operatorname{sec}(u) e h(x)=x^{2}+e^{x}.
Explicando a Regra da Cadeia de forma simples e prática: se
f(x)=g\bigl(h(x)\bigr),
então
f'(x)=g'\bigl(h(x)\bigr)\cdot h'(x).
Aqui g'(u) significa a derivada de g em relação à sua variável u, e depois substituímos u=h(x). A ideia intuitiva é: derivar primeiro a “casca” externa (mantendo a interna como está) e multiplicar pela derivada da “gema” interna. Vamos aplicar isso passo a passo.

Passo 3

Derivar a função externa g(u)=\operatorname{sec}(u). Vou mostrar por que a derivada é \operatorname{sec}(u)\tan(u).
Uma maneira direta é usar \operatorname{sec} u = \dfrac{1}{\cos u} e a regra do quociente (ou produto com \cos^{-1}u). Fazendo a conta:
\frac{d}{du}\operatorname{sec} u=\frac{d}{du}\left(\frac{1}{\cos u}\right) =\frac{0\cdot\cos u - 1\cdot(-\sin u)}{\cos^{2}u} =\frac{\sin u}{\cos^{2}u}.
Agora escrevendo \dfrac{\sin u}{\cos^{2}u}=\dfrac{1}{\cos u}\cdot\dfrac{\sin u}{\cos u} obtemos
\frac{d}{du}\operatorname{sec} u=\operatorname{sec} u\cdot\tan u.
Portanto g'(u)=\operatorname{sec} u\tan u.

Passo 4

Derivar a função interna h(x)=x^{2}+e^{x}. Isso é simples porque derivada de soma é soma das derivadas, e as derivadas básicas são:
  • \dfrac{d}{dx}x^{2}=2x (regra do poder: trazer o expoente e diminuir 1),
  • \dfrac{d}{dx}e^{x}=e^{x} (a exponencial se deriva nela mesma).
Logo
h'(x)=2x+e^{x}.

Passo 5

Aplicar a Regra da Cadeia usando os resultados anteriores. Temos g'(u)=\operatorname{sec} u\tan u e h(x)=x^{2}+e^{x}, então
g'\bigl(h(x)\bigr)=\operatorname{sec}\!\bigl(x^{2}+e^{x}\bigr)\cdot\tan\!\bigl(x^{2}+e^{x}\bigr).
Multiplicando por h'(x)=2x+e^{x} obtemos
f'(x)=\operatorname{sec}\!\bigl(x^{2}+e^{x}\bigr)\tan\!\bigl(x^{2}+e^{x}\bigr)\bigl(2x+e^{x}\bigr).
Essa expressão já está em forma simplificada: não há fator comum óbvio a ser cancelado nem identidades trigonométricas que a deixem mais “simples” sem perder clareza. Podemos apenas reordenar fatores, por exemplo:
f'(x)=\bigl(2x+e^{x}\bigr)\operatorname{sec}\!\bigl(x^{2}+e^{x}\bigr)\tan\!\bigl(x^{2}+e^{x}\bigr).

Passo 6

Um exemplo rápido para fixar: se em vez de x^{2}+e^{x} a parte interna fosse 3x, isto é f(x)=\operatorname{sec}(3x), então por Regra da Cadeia f'(x)=3\operatorname{sec}(3x)\tan(3x). A lógica é a mesma: derivar \operatorname{sec} (dá \operatorname{sec}\tan) e multiplicar pela derivada da parte interna (aqui 3).
Força aí — essa cadeia de ideias (derivar a casca e multiplicar pela dérivada da parte de dentro) funciona para qualquer composição, praticando fica automático.

Resposta

f'(x)=\bigl(2x+e^{x}\bigr)\operatorname{sec}\!\bigl(x^{2}+e^{x}\bigr)\tan\!\bigl(x^{2}+e^{x}\bigr)

Exercícios relacionados