(1.5) Calcule os limites abaixo.
\lim _{x \rightarrow 0} \operatorname{sen}(2 x) \operatorname{cossec}(5 x)

Passo 1

O enunciado pede o limite quando x tende a zero da expressão
\lim_{x\rightarrow 0}\operatorname{sen}(2x)\,\operatorname{cossec}(5x).
Informações relevantes dadas:
  • A função é \operatorname{sen}(2x)\operatorname{cossec}(5x).
  • O ponto de interesse é x\to 0.
  • Lembrar que \operatorname{cossec} significa a cosecante, ou seja \operatorname{cossec}(t)=\dfrac{1}{\operatorname{sen}(t)}.

Passo 2

Reescrevo a expressão usando \operatorname{cossec}(5x)=\dfrac{1}{\operatorname{sen}(5x)}. Assim:
\operatorname{sen}(2x)\,\operatorname{cossec}(5x)=\frac{\operatorname{sen}(2x)}{\operatorname{sen}(5x)}.
Portanto o limite que queremos é
\lim_{x\to 0}\frac{\operatorname{sen}(2x)}{\operatorname{sen}(5x)}.

Passo 3

Vou usar um resultado padrão e muito útil para limites envolvendo seno: a igualdade fundamental
\lim_{u\to 0}\frac{\operatorname{sen}(u)}{u}=1.
Explicando esse resultado de forma didática e intuitiva:
  • Para ângulos muito pequenos, a função \operatorname{sen}(u) comporta-se aproximadamente como a própria variável u; geometricamente e por expansão em série de Taylor temos \operatorname{sen}(u)=u-\dfrac{u^{3}}{6}+\cdots.
  • Dividindo por u obtemos \dfrac{\operatorname{sen}(u)}{u}=1-\dfrac{u^{2}}{6}+\cdots, cuja contribuição dos termos não lineares some quando u\to 0. Por isso o quociente tende a 1.
    (Esse resultado também pode ser provado com teoremas de desigualdade / squeeze, se preferir estudar depois.)

Passo 4

Aplico o resultado anterior às funções \operatorname{sen}(2x) e \operatorname{sen}(5x). Escrevo a razão de forma a aparecerem os quocientes do tipo \dfrac{\operatorname{sen}(\cdot)}{\cdot}:
\frac{\operatorname{sen}(2x)}{\operatorname{sen}(5x)} = \frac{\operatorname{sen}(2x)}{2x}\cdot\frac{2x}{5x}\cdot\frac{5x}{\operatorname{sen}(5x)}.
Observe que aritmeticamente multiplicamos e dividimos por 2x e por 5x para poder usar o limite padrão.

Passo 5

Simplifico a expressão intermediária:
\frac{\operatorname{sen}(2x)}{\operatorname{sen}(5x)} = \left(\frac{\operatorname{sen}(2x)}{2x}\right)\cdot\left(\frac{2}{5}\right)\cdot\left(\frac{5x}{\operatorname{sen}(5x)}\right).
Agora passo ao limite termo a termo quando x\to 0. Usando \lim_{u\to 0}\dfrac{\operatorname{sen}(u)}{u}=1 e substituindo u=2x e u=5x, obtemos
\lim_{x\to 0}\frac{\operatorname{sen}(2x)}{2x}=1, \qquad \lim_{x\to 0}\frac{5x}{\operatorname{sen}(5x)}=\left(\lim_{x\to 0}\frac{\operatorname{sen}(5x)}{5x}\right)^{-1}=1.

Passo 6

Multiplicando os limites (produto de limites quando existem), conclui-se:
\lim_{x\to 0}\frac{\operatorname{sen}(2x)}{\operatorname{sen}(5x)} =1\cdot\frac{2}{5}\cdot1=\frac{2}{5}.
Isso significa que, na prova, a forma prática é sempre tentar transformar expressões envolvendo \operatorname{sen}(a x) em quocientes do tipo \dfrac{\operatorname{sen}(a x)}{a x} para usar o limite padrão.

Resposta

\dfrac{2}{5}

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