(1.5) Calcule os limites abaixo.
Passo 1
O enunciado pede o limite quando
tende a zero da expressão
Informações relevantes dadas:
- A função é
. - O ponto de interesse é
. - Lembrar que
significa a cosecante, ou seja .
Passo 2
Reescrevo a expressão usando
. Assim:
Portanto o limite que queremos é
Passo 3
Vou usar um resultado padrão e muito útil para limites envolvendo seno: a igualdade fundamental
Explicando esse resultado de forma didática e intuitiva:
- Para ângulos muito pequenos, a função
comporta-se aproximadamente como a própria variável ; geometricamente e por expansão em série de Taylor temos . - Dividindo por
obtemos , cuja contribuição dos termos não lineares some quando . Por isso o quociente tende a .
(Esse resultado também pode ser provado com teoremas de desigualdade / squeeze, se preferir estudar depois.)
Passo 4
Aplico o resultado anterior às funções
e
. Escrevo a razão de forma a aparecerem os quocientes do tipo
:
Observe que aritmeticamente multiplicamos e dividimos por
e por
para poder usar o limite padrão.
Passo 5
Simplifico a expressão intermediária:
Agora passo ao limite termo a termo quando
. Usando
e substituindo
e
, obtemos
Passo 6
Multiplicando os limites (produto de limites quando existem), conclui-se:
Isso significa que, na prova, a forma prática é sempre tentar transformar expressões envolvendo
em quocientes do tipo
para usar o limite padrão.