(1.5) Calcule os limites abaixo.
Passo 1
O enunciado pede para calcular o limite
Informações importantes dadas pelo enunciado:
- A expressão é
. - A aproximação é pelo lado direito de
, isto é . - Quando
temos que a base tende a e o expoente também tende a .
Passo 2
Observação sobre a forma da expressão ao limite: a expressão tende a uma forma do tipo
, porque a base tende a
e o expoente tende a
. A forma
é indeterminada, ou seja, não podemos afirmar o valor do limite só por essa aparência. Precisamos de uma técnica para calcular o limite de forma segura.
Passo 3
Técnica usada: passar para o logaritmo natural. Isso é útil quando a variável aparece tanto na base quanto no expoente. Defina
Como
perto de
, temos
e o logaritmo natural está bem definido. Tomando logaritmo:
Para encontrar
é suficiente encontrar
e depois aplicar a exponenciação.
Passo 4
Façamos a mudança
. Então
quando
e
Vamos calcular
. Reescrevendo para aplicar L’Hôpital:
Ao calcular
vemos uma forma
, então podemos aplicar a regra de L’Hôpital. Derivando numerador e denominador em relação a
:
- derivada do numerador
é , - derivada do denominador
é .
Assim
Portanto
ou seja
Passo 5
Voltando de
para
: se
, então
Portanto o limite pedido vale
.