(1.5) Calcule os limites abaixo.
\lim _{x \rightarrow 5^{+}}(x-5)^{x-5}

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite
\lim_{x\to 5^{+}}(x-5)^{x-5}.
Informações importantes dadas pelo enunciado:
  • A expressão é (x-5)^{x-5}.
  • A aproximação é pelo lado direito de 5, isto é x\to5^{+}.
  • Quando x\to5^{+} temos que a base x-5 tende a 0^{+} e o expoente x-5 também tende a 0^{+}.

Passo 2

Observação sobre a forma da expressão ao limite: a expressão tende a uma forma do tipo 0^{0}, porque a base tende a 0^{+} e o expoente tende a 0. A forma 0^{0} é indeterminada, ou seja, não podemos afirmar o valor do limite só por essa aparência. Precisamos de uma técnica para calcular o limite de forma segura.

Passo 3

Técnica usada: passar para o logaritmo natural. Isso é útil quando a variável aparece tanto na base quanto no expoente. Defina
y=(x-5)^{x-5}.
Como x>5 perto de 5^{+}, temos x-5>0 e o logaritmo natural está bem definido. Tomando logaritmo:
\ln y = (x-5)\ln(x-5).
Para encontrar \lim_{x\to5^{+}} y é suficiente encontrar \lim_{x\to5^{+}} \ln y e depois aplicar a exponenciação.

Passo 4

Façamos a mudança t=x-5. Então t\to0^{+} quando x\to5^{+} e
\ln y = t\ln t.
Vamos calcular \displaystyle\lim_{t\to0^{+}} t\ln t. Reescrevendo para aplicar L’Hôpital:
t\ln t=\frac{\ln t}{1/t}.
Ao calcular \lim_{t\to0^{+}} \dfrac{\ln t}{1/t} vemos uma forma -\infty/\infty, então podemos aplicar a regra de L’Hôpital. Derivando numerador e denominador em relação a t:
  • derivada do numerador \ln t é 1/t,
  • derivada do denominador 1/t é -1/t^{2}.
Assim
\lim_{t\to0^{+}} \frac{\ln t}{1/t} = \lim_{t\to0^{+}} \frac{1/t}{-1/t^{2}} = \lim_{t\to0^{+}} -t = 0.
Portanto
\lim_{t\to0^{+}} t\ln t = 0,
ou seja
\lim_{x\to5^{+}} \ln y = 0.

Passo 5

Voltando de \ln y para y: se \lim_{x\to5^{+}} \ln y = 0, então
\lim_{x\to5^{+}} y = \lim_{x\to5^{+}} e^{\ln y} = e^{0} = 1.
Portanto o limite pedido vale 1.

Resposta

1

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