Derive as funções abaixo:
f(x)=\frac{1-\operatorname{sec} x}{\tan x}

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=\frac{1-\operatorname{sec} x}{\tan x}.
O conteúdo principal é manipulação de identidades trigonométricas para simplificar a expressão e, em seguida, aplicação da regra da cadeia e da derivada da tangente.

Passo 2

Vamos simplificar f(x) usando identidades trigonométricas. Como \operatorname{sec} x = 1/\cos x e \tan x = \sin x/\cos x, temos
f(x) = \frac{1 - \frac{1}{\cos x}}{\frac{\sin x}{\cos x}} = \frac{\frac{\cos x - 1}{\cos x}}{\frac{\sin x}{\cos x}} = \frac{\cos x - 1}{\sin x}.

Passo 3

Usamos a identidade de meio ângulo
1 - \cos x = 2\sin^2\!\bigl(\tfrac{x}{2}\bigr), \qquad \sin x = 2\sin\!\bigl(\tfrac{x}{2}\bigr)\cos\!\bigl(\tfrac{x}{2}\bigr).
Substituindo em \frac{\cos x - 1}{\sin x} = -\frac{1-\cos x}{\sin x}, obtemos
f(x) = -\frac{2\sin^2\!\bigl(\tfrac{x}{2}\bigr)}{2\sin\!\bigl(\tfrac{x}{2}\bigr)\cos\!\bigl(\tfrac{x}{2}\bigr)} = -\tan\!\bigl(\tfrac{x}{2}\bigr).

Passo 4

Agora derivamos
f(x) = -\tan\!\bigl(\tfrac{x}{2}\bigr).
Usamos a derivada de \tan(u), que é \operatorname{sec}^2(u)\cdot u', com u = x/2 e u' = 1/2. Logo,
f'(x) = -\Bigl[\operatorname{sec}^2\!\bigl(\tfrac{x}{2}\bigr)\Bigr]\cdot \frac{1}{2} = -\frac{1}{2}\,\operatorname{sec}^2\!\bigl(\tfrac{x}{2}\bigr).

Resposta

f'(x) = -\frac{1}{2}\,\operatorname{sec}^2\!\bigl(\tfrac{x}{2}\bigr).

Exercícios relacionados