Derive as funções abaixo:
f(x)=x^{2} \operatorname{sen} x \tan x

Passo 1

O enunciado pede derivar \,f(x)=x^2\sin x\tan x. O conteúdo principal aqui é a aplicação da regra do produto (para mais de duas funções) e a derivada de \tan x.

Passo 2

Escrevemos
u(x)=x^2 \quad\text{e}\quad v(x)=\sin x\;\tan x
e aplicamos a regra do produto:
f'(x)=u'(x)\,v(x)+u(x)\,v'(x).

Passo 3

Calculamos as derivadas de u e de v.
Para u(x)=x^2:
u'(x)=2x.
Para v(x)=\sin x\cdot\tan x, usamos também produto: seja
a(x)=\sin x, \quad b(x)=\tan x,
então
v'(x)=a'(x)\,b(x)+a(x)\,b'(x) =\cos x\,\tan x+\sin x\,\operatorname{sec}^2 x.

Passo 4

Substituindo em f'(x):
f'(x)=2x\;\sin x\;\tan x \;+\;x^2\bigl(\cos x\;\tan x+\sin x\;\operatorname{sec}^2 x\bigr).

Passo 5

Para simplificar, note que \cos x\tan x=\sin x. Fatorando \sin x:
f'(x) =2x\,\sin x\,\tan x +x^2\sin x\bigl(1+\operatorname{sec}^2 x\bigr) =\sin x\Bigl(2x\,\tan x+x^2\bigl(1+\operatorname{sec}^2 x\bigr)\Bigr).

Resposta

f'(x)=2x\,\sin x\,\tan x +x^2\bigl(\cos x\,\tan x+\sin x\,\operatorname{sec}^2 x\bigr)
Forma simplificada:
f'(x)=\sin x\bigl(2x\,\tan x+x^2(1+\operatorname{sec}^2 x)\bigr).

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