Derive as funções abaixo:
f(x)=\frac{\cos x}{1-\operatorname{sen} x}

Passo 1

O enunciado pede a derivada da função
f(x)=\frac{\cos x}{1-\sin x}.
Aqui vamos usar conteúdo de derivadas de funções trigonométricas e a regra do quociente, que diz que, para
\displaystyle f(x)=\frac{u(x)}{v(x)},
f'(x)=\frac{u'(x)\,v(x)-u(x)\,v'(x)}{\bigl(v(x)\bigr)^{2}}.

Passo 2

Identificamos
u(x)=\cos x \quad\text{e}\quad v(x)=1-\sin x.
Logo vamos precisar de u'(x) e v'(x).

Passo 3

Derivando cada parte:
u'(x) = -\sin x, \qquad v'(x) = -\cos x.

Passo 4

Aplicando a regra do quociente:
f'(x) =\frac{u'(x)\,v(x)-u(x)\,v'(x)}{\bigl(v(x)\bigr)^{2}} =\frac{\bigl(-\sin x\bigr)\,(1-\sin x)-\cos x\,\bigl(-\cos x\bigr)}{(1-\sin x)^{2}}.

Passo 5

Simplificando o numerador:
(-\sin x)(1-\sin x)+\cos^{2}x =-\sin x+\sin^{2}x+\cos^{2}x =-\sin x+1 =1-\sin x.
Portanto
f'(x)=\frac{1-\sin x}{(1-\sin x)^{2}} =\frac{1}{1-\sin x}.

Resposta

f'(x)=\frac{1}{1-\sin x}.

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