DERIVE AS FUNÇÕES ABAIXO.
f(x)=x \ln (x)

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada da função
f(x)=x\ln(x).
O conteúdo necessário envolve a regra do produto e a derivada de \ln(x).

Passo 2

Definimos duas funções auxiliares para aplicar a regra do produto:
u(x)=x
v(x)=\ln(x)
e lembramos que, segundo a regra do produto,
(u\cdot v)' = u' \,v + u\,v'.

Passo 3

Calculamos as derivadas de cada parte:
u'(x)=1,
v'(x)=\frac{1}{x}.

Passo 4

Aplicando a regra do produto em f(x)=u(x)\,v(x), temos
f'(x)=u'(x)\,v(x)+u(x)\,v'(x) =1\cdot\ln(x)+x\cdot\frac{1}{x}.

Passo 5

Simplificando a expressão, obtemos
f'(x)=\ln(x)+1.

Resposta

f'(x)=\ln(x)+1.

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