DERIVE AS FUNÇÕES ABAIXO.
f(x)=\ln (x)

Passo 1

O enunciado pede a derivada de f(x)=\ln(x) para x>0. O conteúdo envolvido é a definição de derivada pelo limite e a propriedade de que
\lim_{t\to0}\frac{\ln(1+t)}{t}=1.

Passo 2

Usando a definição de derivada, temos
f'(x)=\lim_{h\to0}\frac{\ln(x+h)-\ln(x)}{h}.
Aplicando \ln(a)-\ln(b)=\ln\!\bigl(\tfrac{a}{b}\bigr), isso vira
f'(x)=\lim_{h\to0}\frac{\ln\!\bigl(\tfrac{x+h}{x}\bigr)}{h} =\lim_{h\to0}\frac{\ln\!\bigl(1+\tfrac{h}{x}\bigr)}{h}.
Fazendo a troca de variável t=\tfrac{h}{x}, então h=xt e t\to0 quando h\to0. Assim
f'(x) =\lim_{t\to0}\frac{\ln(1+t)}{x\,t} =\frac{1}{x}\,\lim_{t\to0}\frac{\ln(1+t)}{t} =\frac{1}{x}\cdot1.

Resposta

f'(x)=\dfrac{1}{x}

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