Derive as funções abaixo:
f(x)=e^{\operatorname{sec} (3 x)}

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=e^{\operatorname{sec}(3x)}.
Aqui vamos precisar da regra da cadeia duas vezes: primeiro para derivar a exponencial composta e depois para derivar a função \operatorname{sec}(3x).

Passo 2

Defina
u(x)=\operatorname{sec}(3x),
de modo que
f(x)=e^{u(x)}.
Pela regra da cadeia, a derivada de f é
f'(x)=e^{u(x)}\cdot u'(x).

Passo 3

Agora derivamos u(x)=\operatorname{sec}(3x). Sabemos que
\frac{d}{dx}\bigl(\operatorname{sec} v\bigr)=\operatorname{sec} v\tan v\cdot v',
onde v=3x. Aqui v'(x)=3, logo
u'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(\operatorname{sec}(3x)\bigr) =\operatorname{sec}(3x)\,\tan(3x)\cdot 3 =3\,\operatorname{sec}(3x)\,\tan(3x).

Passo 4

Volte à expressão de f'(x). Substituindo u(x) e u'(x) obtemos
f'(x) =e^{u(x)}\cdot u'(x) =e^{\operatorname{sec}(3x)}\cdot\bigl(3\,\operatorname{sec}(3x)\,\tan(3x)\bigr).

Resposta

f'(x)=3\,e^{\operatorname{sec}(3x)}\,\operatorname{sec}(3x)\,\tan(3x).

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