Derive as funções abaixo:
f(x)=\operatorname{sen}(\cos (\tan x))

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=\operatorname{sen}\bigl(\cos(\tan x)\bigr).
O conteúdo principal aqui é a regra da cadeia em funções compostas em três camadas: seno, cosseno e tangente.

Passo 2

Vamos identificar as três funções compostas:
u(x)=\cos(\tan x), \quad v(x)=\tan x, \quad w(x)=x.
Então podemos ver
f(x)=\operatorname{sen}\bigl(u(x)\bigr), \quad u(x)=\cos\bigl(v(x)\bigr), \quad v(x)=\tan\bigl(w(x)\bigr).
Aplicaremos a regra da cadeia em cada nível.

Passo 3

Derivada da camada mais externa \operatorname{sen}(u) em relação a u:
\frac{d}{du}\,\operatorname{sen}(u)=\cos(u).
Logo, ao descer da camada externa, surge o fator
\cos\bigl(u(x)\bigr) =\cos\bigl(\cos(\tan x)\bigr).

Passo 4

Agora derivamos u(x)=\cos(v(x)) em relação a v:
\frac{d}{dv}\,\cos(v)=-\sin(v).
Isso traz mais um fator
-\sin\bigl(v(x)\bigr) =-\sin\bigl(\tan x\bigr).

Passo 5

Por fim, derivamos v(x)=\tan(x) em relação a x:
\frac{d}{dx}\,\tan(x)=\operatorname{sec}^2(x).

Passo 6

Multiplicando todos os fatores obtidos pela regra da cadeia, temos
f'(x) =\cos\bigl(\cos(\tan x)\bigr) \;\times\; \bigl[-\sin(\tan x)\bigr] \;\times\; \operatorname{sec}^2(x).

Resposta

f'(x)=-\cos\bigl(\cos(\tan x)\bigr)\,\sin(\tan x)\,\operatorname{sec}^2(x).

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