Derive as funções abaixo.
f(x)=\operatorname{tg}\left(e^{x}\right)+e^{\operatorname{tg} x}

Passo 1

O enunciado pede para derivar a função
f(x)=\operatorname{tg}\!\bigl(e^{x}\bigr)+e^{\operatorname{tg} x}.
Informações dadas: a função é soma de duas funções compostas. Não há mais dados numéricos; o objetivo é encontrar f'(x), a derivada de f em termos de x.

Passo 2

Vou recordar a regra geral que vamos usar: a regra da cadeia. Se temos uma função composta h(x)=g\bigl(u(x)\bigr), então a derivada é
h'(x)=g'\bigl(u(x)\bigr)\cdot u'(x).
Aqui u(x) é a função interna (aquela que está dentro) e g é a função externa. A interpretação é: derivamos primeiro a função externa como se a variável fosse u, avaliamos em u(x), e multiplicamos pela derivada da função interna u'(x).
Exemplo curto e intuitivo: para h(x)=\sin(3x), a função externa é \sin(t) com t=3x. Então h'(x)=\cos(3x)\cdot 3.

Passo 3

Também precisamos das derivadas básicas envolvidas:
  • Derivada da exponencial: para qualquer v(x),
\frac{d}{dx}\bigl(e^{v(x)}\bigr)=e^{v(x)}\cdot v'(x),
ou seja, a derivada de e^{(\cdot)} é ela mesma vezes a derivada do expoente.
  • Derivada da tangente: para qualquer w(x),
\frac{d}{dx}\bigl(\operatorname{tg}\bigl(w(x)\bigr)\bigr)=\bigl(1+\operatorname{tg}^2\bigl(w(x)\bigr)\bigr)\cdot w'(x).
Observação: 1+\operatorname{tg}^2 z=\operatorname{sec}^2 z; ambas as formas são equivalentes. Aqui uso 1+\operatorname{tg}^2 para manter a notação \operatorname{tg} do enunciado.

Passo 4

Agora aplico a regra da cadeia ao primeiro termo \operatorname{tg}\bigl(e^{x}\bigr).
  • Função externa g(t)=\operatorname{tg}(t).
  • Função interna u(x)=e^{x}.
Pelo passo anterior,
\frac{d}{dx}\operatorname{tg}\bigl(e^{x}\bigr)=\bigl(1+\operatorname{tg}^2\bigl(e^{x}\bigr)\bigr)\cdot\frac{d}{dx}\bigl(e^{x}\bigr).
Como \frac{d}{dx}e^{x}=e^{x}, temos
\frac{d}{dx}\operatorname{tg}\bigl(e^{x}\bigr)=e^{x}\bigl(1+\operatorname{tg}^2\bigl(e^{x}\bigr)\bigr).

Passo 5

Agora aplico a regra da cadeia ao segundo termo e^{\operatorname{tg} x}.
  • Função externa G(s)=e^{s}.
  • Função interna v(x)=\operatorname{tg} x.
Pelo passo 3,
\frac{d}{dx}e^{\operatorname{tg} x}=e^{\operatorname{tg} x}\cdot\frac{d}{dx}\bigl(\operatorname{tg} x\bigr).
E \frac{d}{dx}\bigl(\operatorname{tg} x\bigr)=1+\operatorname{tg}^2 x. Portanto
\frac{d}{dx}e^{\operatorname{tg} x}=e^{\operatorname{tg} x}\bigl(1+\operatorname{tg}^2 x\bigr).

Passo 6

Como f(x) é soma das duas funções, sua derivada é soma das derivadas (linearidade da derivada). Juntando os resultados dos passos 4 e 5:
f'(x)=e^{x}\bigl(1+\operatorname{tg}^2\bigl(e^{x}\bigr)\bigr)+e^{\operatorname{tg} x}\bigl(1+\operatorname{tg}^2 x\bigr).

Passo 7

Podemos escrever a resposta de forma equivalente usando \operatorname{sec}^2 (se preferir):
f'(x)=e^{x}\operatorname{sec}^2\bigl(e^{x}\bigr)+e^{\operatorname{tg} x}\operatorname{sec}^2 x.
Ambas as formas são corretas; a primeira mantém \operatorname{tg}, a segunda usa \operatorname{sec}.

Resposta

f'(x)=e^{x}\bigl(1+\operatorname{tg}^2\bigl(e^{x}\bigr)\bigr)+e^{\operatorname{tg} x}\bigl(1+\operatorname{tg}^2 x\bigr).

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