Derive as funções abaixo.
Passo 1
O enunciado pede para derivar a função
Informações dadas: a função é soma de duas funções compostas. Não há mais dados numéricos; o objetivo é encontrar
, a derivada de
em termos de
.
Passo 2
Vou recordar a regra geral que vamos usar: a regra da cadeia. Se temos uma função composta
, então a derivada é
Aqui
é a função interna (aquela que está dentro) e
é a função externa. A interpretação é: derivamos primeiro a função externa como se a variável fosse
, avaliamos em
, e multiplicamos pela derivada da função interna
.
Exemplo curto e intuitivo: para
, a função externa é
com
. Então
.
Passo 3
Também precisamos das derivadas básicas envolvidas:
- Derivada da exponencial: para qualquer
,
ou seja, a derivada de
é ela mesma vezes a derivada do expoente.
- Derivada da tangente: para qualquer
,
Observação:
; ambas as formas são equivalentes. Aqui uso
para manter a notação
do enunciado.
Passo 4
Agora aplico a regra da cadeia ao primeiro termo
.
- Função externa
. - Função interna
.
Pelo passo anterior,
Como
, temos
Passo 5
Agora aplico a regra da cadeia ao segundo termo
.
- Função externa
. - Função interna
.
Pelo passo 3,
E
. Portanto
Passo 6
Como
é soma das duas funções, sua derivada é soma das derivadas (linearidade da derivada). Juntando os resultados dos passos 4 e 5:
Passo 7
Podemos escrever a resposta de forma equivalente usando
(se preferir):
Ambas as formas são corretas; a primeira mantém
, a segunda usa
.