H. 163 Determinar a função derivada das seguintes funções:
f(x)=\operatorname{arcsen} 3 x

Passo 1

O enunciado pede para determinar a função derivada da função dada. Informação fornecida: f(x)=\operatorname{arcsen} 3 x. Objetivo: calcular f'(x) (a derivada de f em função de x). Informação adicional implícita e útil: a expressão contém uma composição de funções (um arco seno aplicado a 3x) e, portanto, precisaremos diferenciar uma composição.

Passo 2

Vamos tornar a composição explícita para trabalhar com calma. Defina a função interna
u(x)=3x.
Então podemos escrever
f(x)=\operatorname{arcsen}\bigl(u(x)\bigr).
Aqui a ideia é usar a regra da cadeia: quando uma função é composta, a derivada é a derivada da função externa avaliada na interna vezes a derivada da função interna. Mas antes de aplicar mecanicamente, vamos obter a fórmula da derivada da parte externa \operatorname{arcsen}(u) de modo bem didático.

Passo 3

Achar a derivada de y=\operatorname{arcsen}(u) por diferenciação implícita é uma boa forma didática. Começamos escrevendo a relação inversa:
\sin(y)=u.
Agora derivamos ambos os lados em relação a x. Lembre que y depende de x (pois y=\operatorname{arcsen}(u(x))) e u também depende de x. Aplicando a regra da cadeia ao lado esquerdo:
\cos(y)\,\frac{dy}{dx}=\frac{du}{dx}.
Agora isolamos \dfrac{dy}{dx}:
\frac{dy}{dx}=\frac{\dfrac{du}{dx}}{\cos(y)}.

Passo 4

Expressamos \cos(y) em função de u. Da identidade trigonométrica básica temos \cos^2(y)=1-\sin^2(y). Como \sin(y)=u, obtemos
\cos(y)=\sqrt{1-u^2}.
Aqui usamos a raiz positiva porque o valor de \operatorname{arcsen} (arco-seno) leva y ao intervalo \left[-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}\right], onde \cos(y)\ge 0. Substituindo em \dfrac{dy}{dx} temos a fórmula geral (para u=u(x)):
\frac{d}{dx}\bigl(\operatorname{arcsen}(u(x))\bigr)=\frac{u'(x)}{\sqrt{1-u(x)^2}}.
Explicando as notações: u'(x)=\dfrac{du}{dx} é a derivada da função interna u em relação a x; u(x) é o valor da interna em x.

Passo 5

Aplicamos a fórmula ao nosso caso: u(x)=3x. Calculemos u'(x):
u'(x)=\frac{d}{dx}(3x)=3.
Agora substituímos na fórmula:
f'(x)=\frac{u'(x)}{\sqrt{1-u(x)^2}}=\frac{3}{\sqrt{1-(3x)^2}}.
Simplificando a potência:
f'(x)=\frac{3}{\sqrt{1-9x^2}}.

Passo 6

Sobre o domínio onde essa derivada faz sentido: \operatorname{arcsen}(t) está definida apenas para |t|\le 1. Como t=3x, isso impõe |3x|\le 1, ou seja x\in\left[-\tfrac{1}{3},\tfrac{1}{3}\right]. A expressão da derivada tem um denominador \sqrt{1-9x^2}, que é nula quando 1-9x^2=0, isto é nos pontos x=\pm\tfrac{1}{3}. Portanto a derivada é finita e definida no intervalo aberto
-\tfrac{1}{3}<x<\tfrac{1}{3},
e não existe (tende ao infinito) exatamente em x=\pm\tfrac{1}{3}.

Passo 7

Resumo didático rápido para a prova: reconheça a forma \operatorname{arcsen}(u(x)), use a derivada conhecida \dfrac{d}{dx}\operatorname{arcsen}(u)=\dfrac{u'}{\sqrt{1-u^2}} (obtida por diferenciação implícita como fizemos) e depois calcule u'(x). Não esqueça de verificar o domínio final (a função original exige |u(x)|\le 1) — isso te ajuda a justificar onde a derivada vale.

Resposta

\displaystyle f'(x)=\frac{3}{\sqrt{1-9x^{2}}} (válida para -\tfrac{1}{3}<x<\tfrac{1}{3}).

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