H. 163 Determinar a função derivada das seguintes funções:
Passo 1
O enunciado pede para determinar a função derivada da função dada. Informação fornecida:
. Objetivo: calcular
(a derivada de
em função de
). Informação adicional implícita e útil: a expressão contém uma composição de funções (um arco seno aplicado a
) e, portanto, precisaremos diferenciar uma composição.
Passo 2
Vamos tornar a composição explícita para trabalhar com calma. Defina a função interna
Então podemos escrever
Aqui a ideia é usar a regra da cadeia: quando uma função é composta, a derivada é a derivada da função externa avaliada na interna vezes a derivada da função interna. Mas antes de aplicar mecanicamente, vamos obter a fórmula da derivada da parte externa
de modo bem didático.
Passo 3
Achar a derivada de
por diferenciação implícita é uma boa forma didática. Começamos escrevendo a relação inversa:
Agora derivamos ambos os lados em relação a
. Lembre que
depende de
(pois
) e
também depende de
. Aplicando a regra da cadeia ao lado esquerdo:
Agora isolamos
:
Passo 4
Expressamos
em função de
. Da identidade trigonométrica básica temos
. Como
, obtemos
Aqui usamos a raiz positiva porque o valor de
(arco-seno) leva
ao intervalo
, onde
. Substituindo em
temos a fórmula geral (para
):
Explicando as notações:
é a derivada da função interna
em relação a
;
é o valor da interna em
.
Passo 5
Aplicamos a fórmula ao nosso caso:
. Calculemos
:
Agora substituímos na fórmula:
Simplificando a potência:
Passo 6
Sobre o domínio onde essa derivada faz sentido:
está definida apenas para
. Como
, isso impõe
, ou seja
. A expressão da derivada tem um denominador
, que é nula quando
, isto é nos pontos
. Portanto a derivada é finita e definida no intervalo aberto
e não existe (tende ao infinito) exatamente em
.
Passo 7
Resumo didático rápido para a prova: reconheça a forma
, use a derivada conhecida
(obtida por diferenciação implícita como fizemos) e depois calcule
. Não esqueça de verificar o domínio final (a função original exige
) — isso te ajuda a justificar onde a derivada vale.