Derive as funções abaixo:
h(x)=e^{2 x^{3}-x}

Passo 1

O enunciado dá a função h(x)=e^{2 x^{3}-x} e pede que se determine a derivada h'(x). Informações relevantes fornecidas:
  • A função é uma exponencial cuja base é e e cujo expoente é o polinômio 2x^{3}-x.
  • O objetivo é encontrar a derivada de h em função de x.

Passo 2

Conceito que vamos usar (a “ferramenta” principal): a regra da cadeia. Ela serve quando temos uma composição de funções, isto é, uma função definida como f(g(x)).
Definição e explicação da regra da cadeia:
  • Se F(x)=f(g(x)), então a derivada é
F'(x)=f'(g(x))\cdot g'(x).
  • Aqui f é a função externa e g é a função interna. Primeiro derivamos a externa deixando a interna intacta, depois multiplicamos pela derivada da interna.
  • Exemplo simples para fixar: se F(x)=\sin(x^2), então f(u)=\sin u e g(x)=x^2. Assim
F'(x)=\cos(x^2)\cdot 2x.
Isso ilustra o passo-a-passo: derivar \sin obtendo \cos e multiplicar por 2x, que é a derivada de x^2.

Passo 3

Identificar as funções externa e interna no nosso caso:
  • Função externa: f(u)=e^{u}.
  • Função interna: u(x)=2x^{3}-x.
Agora lembrar duas regras básicas que usaremos:
  1. Derivada da exponencial: para todo u,
\frac{d}{du}e^{u}=e^{u}.
Ou seja, a exponencial é especial: derivando não muda a forma, só permanece e^{u}.
2. Regra do poder (para polinômios): para todo n\in\mathbb{R},
\frac{d}{dx}x^{n}=n x^{n-1}.
E a linearidade: \frac{d}{dx}(a\cdot p(x))=a\cdot p'(x) e \frac{d}{dx}(p(x)+q(x))=p'(x)+q'(x).

Passo 4

Calcular a derivada da parte interna u(x)=2x^{3}-x passo a passo:
  • Derivada de 2x^{3}: aplicar a regra do poder com constante multiplicativa:
\frac{d}{dx}(2x^{3})=2\cdot 3x^{2}=6x^{2}.
  • Derivada de -x: é -1.
    Portanto
u'(x)=6x^{2}-1.

Passo 5

Aplicar a regra da cadeia à função h(x)=e^{u(x)}. Usando f'(u)=e^{u} e multiplicando por u'(x), obtemos
h'(x)=e^{u(x)}\cdot u'(x).
Substituindo u(x)=2x^{3}-x e u'(x)=6x^{2}-1, fica
h'(x)=e^{2x^{3}-x}\cdot(6x^{2}-1).

Passo 6

Forma final e dicas rápidas:
  • Aderir à forma usual de escrita é útil: h'(x)=(6x^{2}-1)e^{2x^{3}-x}.
  • Cheque rápido avaliando em um ponto simples, por exemplo x=0:
h'(0)=(6\cdot 0^{2}-1)e^{2\cdot 0^{3}-0} = (-1)\cdot e^{0} = -1,
o que confirma que a expressão faz sentido numericamente.
  • Em prova: identifique a interna 2x^{3}-x, calcule sua derivada 6x^{2}-1 e multiplique pela mesma exponencial original.

Resposta

h'(x)=(6x^{2}-1)e^{2x^{3}-x}

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