Derive as funções abaixo:
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede que se determine a derivada
. Informações relevantes fornecidas:
- A função é uma exponencial cuja base é
e cujo expoente é o polinômio . - O objetivo é encontrar a derivada de
em função de .
Passo 2
Conceito que vamos usar (a “ferramenta” principal): a regra da cadeia. Ela serve quando temos uma composição de funções, isto é, uma função definida como
.
Definição e explicação da regra da cadeia:
- Se
, então a derivada é
- Aqui
é a função externa e é a função interna. Primeiro derivamos a externa deixando a interna intacta, depois multiplicamos pela derivada da interna. - Exemplo simples para fixar: se
, então e . Assim
Isso ilustra o passo-a-passo: derivar
obtendo
e multiplicar por
, que é a derivada de
.
Passo 3
Identificar as funções externa e interna no nosso caso:
- Função externa:
. - Função interna:
.
Agora lembrar duas regras básicas que usaremos:
- Derivada da exponencial: para todo
,
Ou seja, a exponencial é especial: derivando não muda a forma, só permanece
.
2. Regra do poder (para polinômios): para todo ,
2. Regra do poder (para polinômios): para todo
E a linearidade:
e
.
Passo 4
Calcular a derivada da parte interna
passo a passo:
- Derivada de
: aplicar a regra do poder com constante multiplicativa:
- Derivada de
: é .
Portanto
Passo 5
Aplicar a regra da cadeia à função
. Usando
e multiplicando por
, obtemos
Substituindo
e
, fica
Passo 6
Forma final e dicas rápidas:
- Aderir à forma usual de escrita é útil:
. - Cheque rápido avaliando em um ponto simples, por exemplo
:
o que confirma que a expressão faz sentido numericamente.
- Em prova: identifique a interna
, calcule sua derivada e multiplique pela mesma exponencial original.