Verifique que a sequência: \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{4}, \frac{1}{5}, \ldots é limitada superiormente e inferiormente e, portanto, é limitada.

Passo 1

O enunciado dá a sequência cujos termos são
\frac{1}{2},\\ \frac{1}{3},\\ \frac{1}{4},\\ \frac{1}{5},\ldots
ou seja, o n-ésimo termo é \frac{1}{n} para n=2,3,4,\ldots.
O pedido é: verificar que essa sequência é limitada superiormente e limitada inferiormente e, portanto, limitada.

Passo 2

Primeiro vamos lembrar as definições (explicando o que cada símbolo significa).
\text{A sequência }(a_n)\text{ é limitada superiormente se existe }M\in\mathbb{R}\text{ tal que }a_n\le M\text{ para todo }n.êé
Aqui a_n significa o n-ésimo termo da sequência e M é um número real que serve de cota superior.
\text{A sequência }(a_n)\text{ é limitada inferiormente se existe }m\in\mathbb{R}\text{ tal que }m\le a_n\text{ para todo }n.êé
Aqui m é um número real que serve de cota inferior.
Se tais M e m existem simultaneamente, dizemos simplesmente que a sequência é limitada (pois todos os termos ficam dentro do intervalo [m,M]).

Passo 3

Mostrando a cota inferior: para todo n\ge 2 temos n>0, portanto
\frac{1}{n}>0.
Isso implica que, para todo n,
0\le \frac{1}{n}.
Assim m=0 é uma cota inferior da sequência (ou seja, a sequência é limitada inferiormente por 0).
Comentário rápido e amigo: isto é óbvio porque frações com denominador positivo são positivas — nada de misterioso.

Passo 4

Mostrando a cota superior: como n\ge 2, podemos escrever n=2+k com k\ge 0. Então
\frac{1}{n}=\frac{1}{2+k}\le\frac{1}{2},
pois 2+k\ge 2 implica que o denominador é pelo menos 2, e dividir por um número maior dá um quociente menor ou igual. Outra forma de ver é: a desigualdade \dfrac{1}{n}\le\dfrac{1}{2} é equivalente a 2\le n quando multiplicamos por 2n>0, e isso é verdade por hipótese.
Logo M=\dfrac{1}{2} é uma cota superior da sequência (igualdade ocorre para n=2).

Passo 5

Concluímos que, para todo n\ge 2,
0\le \frac{1}{n}\le \frac{1}{2}.
Portanto existem m=0 e M=\dfrac{1}{2} tais que m\le a_n\le M para todo n, o que mostra que a sequência é limitada.
Pequena observação extra: \dfrac{1}{2} é a menor cota superior (supremo) porque o primeiro termo vale exatamente \dfrac{1}{2}; e 0 é o maior cota inferior (ínfimo), pois os termos se aproximam arbitrariamente de 0 sem atingi-lo.

Resposta

\text{Cota inferior: }0
\text{Cota superior: }\dfrac{1}{2}
\text{Conclusão: a sequência é limitada.}ãêé

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