Verifique que a sequência:
é limitada superiormente e inferiormente e, portanto, é limitada.
Passo 1
O enunciado dá a sequência cujos termos são
ou seja, o
-ésimo termo é
para
.
O pedido é: verificar que essa sequência é limitada superiormente e limitada inferiormente e, portanto, limitada.
O pedido é: verificar que essa sequência é limitada superiormente e limitada inferiormente e, portanto, limitada.
Passo 2
Primeiro vamos lembrar as definições (explicando o que cada símbolo significa).
Aqui
significa o
-ésimo termo da sequência e
é um número real que serve de cota superior.
Aqui
é um número real que serve de cota inferior.
Se tais e
existem simultaneamente, dizemos simplesmente que a sequência é limitada (pois todos os termos ficam dentro do intervalo
).
Se tais
Passo 3
Mostrando a cota inferior: para todo
temos
, portanto
Isso implica que, para todo
,
Assim
é uma cota inferior da sequência (ou seja, a sequência é limitada inferiormente por
).
Comentário rápido e amigo: isto é óbvio porque frações com denominador positivo são positivas — nada de misterioso.
Comentário rápido e amigo: isto é óbvio porque frações com denominador positivo são positivas — nada de misterioso.
Passo 4
Mostrando a cota superior: como
, podemos escrever
com
. Então
pois
implica que o denominador é pelo menos
, e dividir por um número maior dá um quociente menor ou igual. Outra forma de ver é: a desigualdade
é equivalente a
quando multiplicamos por
, e isso é verdade por hipótese.
Logo é uma cota superior da sequência (igualdade ocorre para
).
Logo
Passo 5
Concluímos que, para todo
,
Portanto existem
e
tais que
para todo
, o que mostra que a sequência é limitada.
Pequena observação extra: é a menor cota superior (supremo) porque o primeiro termo vale exatamente
; e
é o maior cota inferior (ínfimo), pois os termos se aproximam arbitrariamente de
sem atingi-lo.
Pequena observação extra: