Derive as funções abaixo:
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede para derivá‑la, ou seja, encontrar
.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
- A função é a composição do logaritmo natural com o polinômio
. - É preciso lembrar que o logaritmo natural só está definido quando o argumento é positivo, então haverá restrição de domínio (isso será tratado depois).
Passo 2
Fórmulas e ideias que vamos usar (explicadas de forma didática):
- Regra do logaritmo composto (cadeia): se
, então a derivada é dada por
Explicação: o logaritmo “pega” a função
. Para ver como
muda quando
muda, primeiro vemos como
muda em função de seu argumento (derivada de
em relação a
é
) e depois multiplicamos pela taxa de variação de
em relação a
(ou seja,
). Essa multiplicação é a chamada regra da cadeia.
- Derivada de um polinômio simples: se
, então
porque derivada de
é
e derivada de
é
; a constante some.
Passo 3
Aplicando a fórmula da cadeia ao nosso caso:
- Definimos
. - Calculamos
(como explicado no passo anterior).
Agora usamos a regra do logaritmo composto:
Passo 4
Podemos apresentar a mesma derivada de outra forma que às vezes é útil em provas: fatorando o denominador
Se estivermos em um intervalo onde é permitido separar o logaritmo como soma (isto é, onde ambos
e
são positivos, ou seja
), então
e derivando termo a termo obtemos
Fazendo a soma das frações obtemos novamente
confirmando a igualdade entre as duas formas (a forma com soma de recíprocos só é válida onde os logs individuais fazem sentido, mas a forma racional vale algebraicamente para
).
Passo 5
Checagem numérica rápida para ver que a fórmula funciona: em
,
Usando a forma somada:
, bate certinho.
Passo 6
Domínio e onde a derivada existe: a função
existe quando
. Como o polinômio fatorado é
, temos
para
Nessas duas regiões a derivada encontrada é válida. Nos pontos
e
a função não está definida, logo não há derivada ali.