Derive as funções abaixo:
k(x)=\ln \left(x^{2}+5 x+6\right)

Passo 1

O enunciado dá a função \displaystyle k(x)=\ln\!\bigl(x^{2}+5x+6\bigr) e pede para derivá‑la, ou seja, encontrar k'(x).
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
  • A função é a composição do logaritmo natural com o polinômio x^{2}+5x+6.
  • É preciso lembrar que o logaritmo natural só está definido quando o argumento é positivo, então haverá restrição de domínio (isso será tratado depois).

Passo 2

Fórmulas e ideias que vamos usar (explicadas de forma didática):
  • Regra do logaritmo composto (cadeia): se h(x)=\ln(u(x)), então a derivada é dada por
\frac{d}{dx}\ln\bigl(u(x)\bigr)=\frac{u'(x)}{u(x)}.
Explicação: o logaritmo “pega” a função u(x). Para ver como h muda quando x muda, primeiro vemos como \ln muda em função de seu argumento (derivada de \ln t em relação a t é 1/t) e depois multiplicamos pela taxa de variação de u em relação a x (ou seja, u'(x)). Essa multiplicação é a chamada regra da cadeia.
  • Derivada de um polinômio simples: se u(x)=x^{2}+5x+6, então
u'(x)=2x+5,
porque derivada de x^{2} é 2x e derivada de 5x é 5; a constante some.

Passo 3

Aplicando a fórmula da cadeia ao nosso caso:
  • Definimos u(x)=x^{2}+5x+6.
  • Calculamos u'(x)=2x+5 (como explicado no passo anterior).
    Agora usamos a regra do logaritmo composto:
k'(x)=\frac{u'(x)}{u(x)}=\frac{2x+5}{x^{2}+5x+6}.

Passo 4

Podemos apresentar a mesma derivada de outra forma que às vezes é útil em provas: fatorando o denominador
x^{2}+5x+6=(x+2)(x+3).
Se estivermos em um intervalo onde é permitido separar o logaritmo como soma (isto é, onde ambos x+2 e x+3 são positivos, ou seja x>-2), então
\ln\!\bigl((x+2)(x+3)\bigr)=\ln(x+2)+\ln(x+3)
e derivando termo a termo obtemos
k'(x)=\frac{1}{x+2}+\frac{1}{x+3}.
Fazendo a soma das frações obtemos novamente
\frac{1}{x+2}+\frac{1}{x+3}=\frac{(x+3)+(x+2)}{(x+2)(x+3)}=\frac{2x+5}{x^{2}+5x+6},
confirmando a igualdade entre as duas formas (a forma com soma de recíprocos só é válida onde os logs individuais fazem sentido, mas a forma racional vale algebraicamente para x\neq -3,-2).

Passo 5

Checagem numérica rápida para ver que a fórmula funciona: em x=0,
k'(0)=\frac{2\cdot 0+5}{0^{2}+5\cdot 0+6}=\frac{5}{6}.
Usando a forma somada: \dfrac{1}{0+2}+\dfrac{1}{0+3}=\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}=\dfrac{5}{6}, bate certinho.

Passo 6

Domínio e onde a derivada existe: a função \ln(x^{2}+5x+6) existe quando x^{2}+5x+6>0. Como o polinômio fatorado é (x+2)(x+3), temos (x+2)(x+3)>0 para
x<-3\quad\text{ou}\quad x>-2.
Nessas duas regiões a derivada encontrada é válida. Nos pontos x=-3 e x=-2 a função não está definida, logo não há derivada ali.

Resposta

k'(x)=\frac{2x+5}{x^{2}+5x+6}

Exercícios relacionados