Derive as funções abaixo:
k(x)=[2 \ln (x)+\operatorname{sen}(x)]\left[\cos (x)-e^{x}\right].

Passo 1

O enunciado dá a função
k(x)=[2\ln(x)+\operatorname{sen}(x)]\,[\cos(x)-e^{x}]
e pede para derivá‑la. Informação importante: \ln(x) exige x>0, então o domínio natural do problema é x>0. O que queremos obter é k'(x), a derivada de k em termos de x.

Passo 2

Regra que vamos usar primeiro: regra do produto. Se f(x) e g(x) são funções diferenciáveis, então
(fg)'(x)=f'(x)g(x)+f(x)g'(x).
Aqui identificamos
f(x)=2\ln(x)+\operatorname{sen}(x),\qquad g(x)=\cos(x)-e^{x}.

Passo 3

Derivadas elementares que precisamos (lembrando a interpretação e domínio):
  • A derivada de \ln(x) para x>0 é \dfrac{d}{dx}\ln(x)=\dfrac{1}{x}.
  • A derivada de \operatorname{sen}(x) é \dfrac{d}{dx}\operatorname{sen}(x)=\cos(x).
  • A derivada de \cos(x) é \dfrac{d}{dx}\cos(x)=-\operatorname{sen}(x).
  • A derivada de e^{x} é \dfrac{d}{dx}e^{x}=e^{x}.

Passo 4

Calcular f'(x) aplicando a regra da soma e as derivadas acima:
f'(x)=\frac{d}{dx}\big(2\ln(x)\big)+\frac{d}{dx}\big(\operatorname{sen}(x)\big) =\;2\cdot\frac{1}{x}+\cos(x).
Logo,
f'(x)=\frac{2}{x}+\cos(x).

Passo 5

Calcular g'(x):
g'(x)=\frac{d}{dx}\big(\cos(x)\big)-\frac{d}{dx}\big(e^{x}\big) =\;-\,\operatorname{sen}(x)-e^{x}.

Passo 6

Aplicar a regra do produto:
k'(x)=f'(x)g(x)+f(x)g'(x).
Substituindo f,f',g,g':
k'(x)=\Big(\frac{2}{x}+\cos(x)\Big)\Big(\cos(x)-e^{x}\Big) +\Big(2\ln(x)+\operatorname{sen}(x)\Big)\Big(-\operatorname{sen}(x)-e^{x}\Big).
Esta expressão já é correta e muitas vezes suficiente, mas vamos expandir e simplificar um pouco para ficar mais claro.

Passo 7

Expandir termo a termo com cuidado (cada passo mostrado):
Primeiro produto:
\Big(\frac{2}{x}+\cos x\Big)\Big(\cos x-e^{x}\Big) =\frac{2\cos x}{x}-\frac{2e^{x}}{x}+\cos^{2}x-\cos x\,e^{x}.
Segundo produto:
\Big(2\ln x+\operatorname{sen}x\Big)\Big(-\operatorname{sen}x-e^{x}\Big) =-2\ln x\,\operatorname{sen}x-2\ln x\,e^{x}-\operatorname{sen}^{2}x-\operatorname{sen}x\,e^{x}.

Passo 8

Somar os dois resultados e agrupar termos semelhantes:
Somando, obtemos
k'(x)=\cos^{2}x-\operatorname{sen}^{2}x+\frac{2\cos x}{x}-2\ln x\,\operatorname{sen}x -\left(\frac{2e^{x}}{x}+\cos x\,e^{x}+2\ln x\,e^{x}+\operatorname{sen}x\,e^{x}\right).
Fatorando e^{x} no grupo final:
k'(x)=\cos^{2}x-\operatorname{sen}^{2}x+\frac{2\cos x}{x}-2\ln x\,\operatorname{sen}x -e^{x}\Big(\frac{2}{x}+\cos x+2\ln x+\operatorname{sen}x\Big).

Passo 9

Observação útil (opcional): a combinação \cos^{2}x-\operatorname{sen}^{2}x é a identidade trigonométrica \cos(2x). Assim outra forma compacta é
k'(x)=\cos(2x)+\frac{2\cos x}{x}-2\ln x\,\operatorname{sen}x -e^{x}\Big(\frac{2}{x}+\cos x+2\ln x+\operatorname{sen}x\Big).
Ambas as formas são equivalentes; escolha a que achar mais clara na prova.

Resposta

\displaystyle k'(x)=\cos^{2}x-\operatorname{sen}^{2}x+\frac{2\cos x}{x}-2\ln x\,\operatorname{sen}x-e^{x}\Big(\frac{2}{x}+\cos x+2\ln x+\operatorname{sen}x\Big)

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