Derive as funções abaixo:
.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede para derivá‑la. Informação importante:
exige
, então o domínio natural do problema é
. O que queremos obter é
, a derivada de
em termos de
.
Passo 2
Regra que vamos usar primeiro: regra do produto. Se
e
são funções diferenciáveis, então
Aqui identificamos
Passo 3
Derivadas elementares que precisamos (lembrando a interpretação e domínio):
- A derivada de
para é . - A derivada de
é . - A derivada de
é . - A derivada de
é .
Passo 4
Calcular
aplicando a regra da soma e as derivadas acima:
Logo,
Passo 5
Calcular
:
Passo 6
Aplicar a regra do produto:
Substituindo
:
Esta expressão já é correta e muitas vezes suficiente, mas vamos expandir e simplificar um pouco para ficar mais claro.
Passo 7
Expandir termo a termo com cuidado (cada passo mostrado):
Primeiro produto:
Primeiro produto:
Segundo produto:
Passo 8
Somar os dois resultados e agrupar termos semelhantes:
Somando, obtemos
Somando, obtemos
Fatorando
no grupo final:
Passo 9
Observação útil (opcional): a combinação
é a identidade trigonométrica
. Assim outra forma compacta é
Ambas as formas são equivalentes; escolha a que achar mais clara na prova.