Derive as funções abaixo:
g(x)=\sqrt[3]{x} \operatorname{sen}(x).

Passo 1

O enunciado pede para derivar a função g dada por
g(x)=\sqrt[3]{x}\,\operatorname{sen}(x).
Informações importantes que o enunciado fornece:
  • A função é o produto de duas funções: uma parte envolvendo potência de x (a raiz cúbica) e a função seno.
  • O objetivo é calcular g'(x), a derivada de g em função de x.

Passo 2

Primeiro simplificamos a escrita da raiz cúbica transformando-a em potência. A raiz cúbica de x é x^{1/3}. Assim podemos reescrever a função como
g(x)=x^{1/3}\,\operatorname{sen}(x).
Isso facilita usar regras usuais de derivação, porque a regra do poder (power rule) aplica-se diretamente a x^{a}.

Passo 3

Para derivar um produto de duas funções usamos a regra do produto. Vou escrever a regra e explicar:
Se u(x) e v(x) são funções diferenciáveis, então a derivada de u(x)v(x) é
\frac{d}{dx}\big(u(x)v(x)\big)=u'(x)\,v(x)+u(x)\,v'(x).
Aqui:
  • u(x) é a primeira função (vai virar u'(x) quando derivada);
  • v(x) é a segunda função (vai virar v'(x) quando derivada);
  • o produto final soma u'(x) vezes v(x) com u(x) vezes v'(x).
No nosso caso podemos identificar u(x)=x^{1/3} e v(x)=\operatorname{sen}(x).

Passo 4

Agora precisamos das derivadas de cada parte separadamente.
Derivada de u(x)=x^{1/3}:
A regra do poder diz que, para u(x)=x^{a} com constante a,
u'(x)=a\,x^{a-1}.
Aplicando com a=\tfrac{1}{3}:
\frac{d}{dx}\big(x^{1/3}\big)=\frac{1}{3}\,x^{1/3-1}=\frac{1}{3}\,x^{-2/3}.
Explicando calmamente: subtrai-se 1 do expoente 1/3 obtendo -2/3, e multiplica-se o resultado pelo expoente original 1/3.

Passo 5

Derivada de v(x)=\operatorname{sen}(x):
A derivada do seno é o cosseno. Em notação,
\frac{d}{dx}\big(\operatorname{sen}(x)\big)=\cos(x).
Isto é uma regra básica das funções trigonométricas: seno → cosseno ao derivar.

Passo 6

Agora aplicamos a regra do produto com os u',u,v',v que encontramos:
g'(x)=\underbrace{\frac{1}{3}x^{-2/3}}_{u'(x)}\cdot\underbrace{\operatorname{sen}(x)}_{v(x)}+\underbrace{x^{1/3}}_{u(x)}\cdot\underbrace{\cos(x)}_{v'(x)}.
Escrevendo sem os marcadores:
g'(x)=\frac{1}{3}x^{-2/3}\operatorname{sen}(x)+x^{1/3}\cos(x).

Passo 7

Podemos apresentar a derivada numa forma ligeiramente mais compacta, factorizando x^{-2/3} (ou equivalentemente 1/x^{2/3}):
g'(x)=x^{-2/3}\left(\frac{1}{3}\operatorname{sen}(x)+x\cos(x)\right).
Essa forma é útil porque mostra um fator em comum e pode facilitar manipulações posteriores. Ambas as formas são equivalentes.

Resposta

g'(x)=x^{-2/3}\left(\frac{1}{3}\operatorname{sen}(x)+x\cos(x)\right)

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