Derive as funções abaixo:
f(x)=\left(x^{3}-\sqrt{x}\right)\left(1-5 x^{2}\right).

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a derivada da função
f(x)=\left(x^{3}-\sqrt{x}\right)\left(1-5 x^{2}\right).
O que temos de dado: a expressão de f(x) em forma de produto de duas funções. A única pergunta é: calcular f'(x), a derivada de f em função de x.

Passo 2

Vamos identificar as duas funções que estão sendo multiplicadas (para organizar a resolução):
definir
u(x)=x^{3}-\sqrt{x}
e
v(x)=1-5x^{2}.
Então f(x)=u(x)\,v(x). Esta definição serve só para clarear os nomes das partes que vamos derivar.

Passo 3

Regra que vamos usar (explicação didática): quando uma função é produto de duas funções, a derivada é dada pela regra do produto:
\text{se }f(x)=u(x)\,v(x)\text{ então }f'(x)=u'(x)\,v(x)+u(x)\,v'(x).ã
Nesta fórmula, u'(x) é a derivada de u em relação a x e v'(x) é a derivada de v em relação a x. A ideia é: derivar a primeira mantendo a segunda e somar com a primeira mantendo a segunda derivada. É uma regra básica e muito usada — memorize.

Passo 4

Revisão das regras básicas de derivação que usaremos:
  • Regra do poder: para g(x)=x^{n} com n real, temos g'(x)=n x^{n-1}. Aqui n pode ser inteiro ou fracionário.
  • No caso de raiz quadrada, \sqrt{x}=x^{1/2}, então \dfrac{d}{dx}\sqrt{x}=\dfrac{1}{2}x^{-1/2}=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}.
  • A derivada de constante é zero: \dfrac{d}{dx}1=0.

Passo 5

Calcular u'(x) e v'(x) passo a passo:
Para u(x)=x^{3}-\sqrt{x}=x^{3}-x^{1/2}:
u'(x)=\frac{d}{dx}x^{3}-\frac{d}{dx}x^{1/2}=3x^{2}-\frac{1}{2}x^{-1/2}.
Para v(x)=1-5x^{2}:
v'(x)=\frac{d}{dx}1-5\frac{d}{dx}x^{2}=0-5\cdot 2x=-10x.

Passo 6

Agora aplicamos a regra do produto:
f'(x)=u'(x)\,v(x)+u(x)\,v'(x).
Substituindo u,u',v,v' encontrados:
f'(x)=\left(3x^{2}-\tfrac{1}{2}x^{-1/2}\right)\left(1-5x^{2}\right)+\left(x^{3}-x^{1/2}\right)\left(-10x\right).

Passo 7

Expandir os termos para simplificar, fazendo passo a passo:
Primeiro produto:
\left(3x^{2}-\tfrac{1}{2}x^{-1/2}\right)\left(1-5x^{2}\right) =3x^{2}\cdot(1-5x^{2})-\tfrac{1}{2}x^{-1/2}\cdot(1-5x^{2}).
Calculando cada parte:
3x^{2}\cdot(1-5x^{2})=3x^{2}-15x^{4},
-\tfrac{1}{2}x^{-1/2}\cdot(1-5x^{2})=-\tfrac{1}{2}x^{-1/2}+\tfrac{5}{2}x^{3/2}.
Somando essas duas partes:
3x^{2}-15x^{4}-\tfrac{1}{2}x^{-1/2}+\tfrac{5}{2}x^{3/2}.
Segundo produto:
\left(x^{3}-x^{1/2}\right)\left(-10x\right)=-10x\cdot x^{3}+10x\cdot x^{1/2}=-10x^{4}+10x^{3/2}.

Passo 8

Somar os resultados dos dois produtos term a termo:
f'(x)=\bigl(3x^{2}-15x^{4}-\tfrac{1}{2}x^{-1/2}+\tfrac{5}{2}x^{3/2}\bigr)+\bigl(-10x^{4}+10x^{3/2}\bigr).
Agrupando termos semelhantes:
  • Termos em x^{4}: -15x^{4}-10x^{4}=-25x^{4}.
  • Termo em x^{2}: 3x^{2}.
  • Termos em x^{3/2}: \tfrac{5}{2}x^{3/2}+10x^{3/2}=\tfrac{5}{2}x^{3/2}+\tfrac{20}{2}x^{3/2}=\tfrac{25}{2}x^{3/2}.
  • Termo em x^{-1/2}: -\tfrac{1}{2}x^{-1/2}.
Portanto:
f'(x)=-25x^{4}+3x^{2}+\tfrac{25}{2}x^{3/2}-\tfrac{1}{2}x^{-1/2}.

Passo 9

Interpretando o resultado em notação com raiz quando for mais legível: como x^{3/2}=x\sqrt{x} e x^{-1/2}=\dfrac{1}{\sqrt{x}}, pode-se escrever também:
f'(x)=-25x^{4}+3x^{2}+\tfrac{25}{2}x\sqrt{x}-\tfrac{1}{2}\frac{1}{\sqrt{x}}.
Ambas as formas são equivalentes; escolha a que for mais conveniente na prova.

Resposta

-25x^{4}+3x^{2}+\tfrac{25}{2}x^{3/2}-\tfrac{1}{2}x^{-1/2}

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