Derive as funções abaixo:
.
Passo 1
O enunciado pede para encontrar a derivada da função
.
O que temos de dado: a expressão de em forma de produto de duas funções. A única pergunta é: calcular
, a derivada de
em função de
.
O que temos de dado: a expressão de
Passo 2
Vamos identificar as duas funções que estão sendo multiplicadas (para organizar a resolução):
definir
e
.
Então . Esta definição serve só para clarear os nomes das partes que vamos derivar.
definir
e
Então
Passo 3
Regra que vamos usar (explicação didática): quando uma função é produto de duas funções, a derivada é dada pela regra do produto:
Nesta fórmula,
é a derivada de
em relação a
e
é a derivada de
em relação a
. A ideia é: derivar a primeira mantendo a segunda e somar com a primeira mantendo a segunda derivada. É uma regra básica e muito usada — memorize.
Passo 4
Revisão das regras básicas de derivação que usaremos:
- Regra do poder: para
com real, temos . Aqui pode ser inteiro ou fracionário. - No caso de raiz quadrada,
, então . - A derivada de constante é zero:
.
Passo 5
Calcular
e
passo a passo:
Para
:
Para
:
Passo 6
Agora aplicamos a regra do produto:
Substituindo
encontrados:
Passo 7
Expandir os termos para simplificar, fazendo passo a passo:
Primeiro produto:
Calculando cada parte:
Somando essas duas partes:
Segundo produto:
Passo 8
Somar os resultados dos dois produtos term a termo:
Agrupando termos semelhantes:
- Termos em
: . - Termo em
: . - Termos em
: . - Termo em
: .
Portanto:
Passo 9
Interpretando o resultado em notação com raiz quando for mais legível: como
e
, pode-se escrever também:
Ambas as formas são equivalentes; escolha a que for mais conveniente na prova.