Questão 2. Obtenha as fórmulas para
  • a área de uma superfície,
    nos casos onde a superfície é dada pelo gráfico de uma função de duas variáveis z=f(x, y).
    Dica: parametrize a superfície por
\left\{\begin{array}{rlc} x & = & x \\\ y & = & y \\\ z & = & f(x, y) \end{array} \quad,(x, y) \in D\right.

Passo 1

O enunciado pede para obter a(s) fórmula(s) da área de uma superfície quando ela é dada como gráfico de uma função de duas variáveis. As informações que temos são:
  • A superfície é o gráfico de \,z=f(x,y)\, sobre uma região D do plano xy.
  • A parametrização sugerida é
\mathbf{r}(x,y)=\bigl(x,\,y,\,f(x,y)\bigr),\qquad (x,y)\in D.
O objetivo é achar uma expressão que permita calcular a área da superfície S=\{(x,y,f(x,y)):(x,y)\in D\} em termos de f e de D.

Passo 2

Intuição geométrica (passo crucial antes de calcular): pense em dividir D em pequenos retângulos \Delta x\times\Delta y. Cada retângulo é levado pela parametrização para um pequeno paralelogramo na superfície. A área desse pequeno paralelogramo é aproximadamente a área do paralelogramo gerado pelos vetores tangentes da superfície nas direções x e y, multiplicados por \Delta x e \Delta y. Para formalizar isso precisamos das derivadas parciais de \mathbf{r} e da regra que diz que a área de um paralelogramo gerado por dois vetores é o módulo do produto vetorial entre eles.
Explicando as derivadas parciais de forma bem simples: \partial f/\partial x mede a inclinação (o “declive”) da superfície quando você se mexe só na direção x; \partial f/\partial y mede a inclinação quando você se mexe só na direção y. Esses números vão aparecer na área do elemento porque determinam quanto o gráfico se “inclina” em cada direção, alterando a área do pequeno patch.

Passo 3

Calcular os vetores tangentes à parametrização. Derivando \mathbf{r}(x,y) parcialmente:
\mathbf{r}_x(x,y)=\frac{\partial\mathbf{r}}{\partial x}=(1,\,0,\,f_x(x,y))
\mathbf{r}_y(x,y)=\frac{\partial\mathbf{r}}{\partial y}=(0,\,1,\,f_y(x,y))
onde \,f_x=\dfrac{\partial f}{\partial x}\, e \,f_y=\dfrac{\partial f}{\partial y}\,. Esses vetores representam os deslocamentos na superfície quando x varia mantendo y fixo e quando y varia mantendo x fixo, respectivamente.

Passo 4

Área elementar via produto vetorial. A área do paralelogramo gerado por \mathbf{r}_x\Delta x e \mathbf{r}_y\Delta y é
\bigl\|\mathbf{r}_x\times\mathbf{r}_y\bigr\|\,\Delta x\,\Delta y.
No limite em que \Delta x,\Delta y\to0, isso dá o elemento de área da superfície:
dS=\bigl\|\mathbf{r}_x\times\mathbf{r}_y\bigr\|\,dx\,dy.
Portanto a área total da superfície é a integral dupla sobre D desse módulo do produto vetorial:
\text{Área}(S)=\iint_{D}\bigl\|\mathbf{r}_x\times\mathbf{r}_y\bigr\|\,dx\,dy.Á
Aqui eu segui a regra (geometria vetorial) de que o módulo do produto vetorial de dois vetores dá a área do paralelogramo que eles formam.

Passo 5

Calcular explicitamente \mathbf{r}_x\times\mathbf{r}_y. Usando a forma determinantal (com componentes),
\mathbf{r}_x\times\mathbf{r}_y= \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\\\ 1 & 0 & f_x \\\\ 0 & 1 & f_y \end{vmatrix}
Calculando a determinante componente a componente:
\mathbf{r}_x\times\mathbf{r}_y = \bigl( -f_x,\; -f_y,\; 1 \bigr).
(Se preferir outra ordem de sinal, o módulo será o mesmo; aqui a direção do vetor normal não é importante para a área.)

Passo 6

Calcular o módulo do produto vetorial:
\bigl\|\mathbf{r}_x\times\mathbf{r}_y\bigr\| = \sqrt{(-f_x)^2+(-f_y)^2+1^2} = \sqrt{1+f_x^2+f_y^2}.
Logo o elemento de área da superfície é
dS=\sqrt{1+f_x(x,y)^2+f_y(x,y)^2}\;dx\,dy.

Passo 7

Escrever a fórmula final e explicar a notação. A área da superfície S (gráfico de z=f(x,y) sobre D) é
\text{Área}(S)=\iint_{D}\sqrt{1+\bigl(f_x(x,y)\bigr)^2+\bigl(f_y(x,y)\bigr)^2}\;dx\,dy.Á
Aqui:
  • \,f_x(x,y)=\dfrac{\partial f}{\partial x}(x,y)\, e \,f_y(x,y)=\dfrac{\partial f}{\partial y}(x,y)\,.
  • dx\,dy é a área elementar no plano; alternativamente escreve-se dA.

Passo 8

Variante em coordenadas polares (útil quando D é um disco ou região radial). Se usarmos x=r\cos\theta, y=r\sin\theta, então dx\,dy=r\,dr\,d\theta e a fórmula fica
\text{Área}(S)=\iint_{D_{r,\theta}}\sqrt{1+f_x^2+f_y^2}\;r\,dr\,d\theta,Á
onde as derivadas f_x,f_y são avaliadas em (x,y)=(r\cos\theta,r\sin\theta).

Passo 9

Exemplo rápido 1 (checagem simples): se f(x,y)=ax+by+c (plano), então f_x=a, f_y=b constantes, e
\text{Área}(S)=\sqrt{1+a^2+b^2}\;\cdot\;\text{Área}(D).ÁÁ
Isso faz sentido: o gráfico do plano tem área igual à área da projeção no plano xy multiplicada pelo fator de alongamento \sqrt{1+a^2+b^2}.

Passo 10

Exemplo rápido 2 (hemisfério unitário) — um exemplo que ilustra cálculo completo. Seja f(x,y)=\sqrt{1-x^2-y^2} sobre o disco D=\{(x,y):x^2+y^2\le1\}. Calcula-se
f_x=-\frac{x}{\sqrt{1-x^2-y^2}},\qquad f_y=-\frac{y}{\sqrt{1-x^2-y^2}}.
Então
1+f_x^2+f_y^2 = 1 + \frac{x^2+y^2}{1-x^2-y^2} = \frac{1}{1-x^2-y^2}.
Em coordenadas polares isso dá integrando sobre 0\le r\le1,\;0\le\theta\le2\pi:
\text{Área}(S)=\int_0^{2\pi}\int_0^1 \frac{1}{\sqrt{1-r^2}}\, r\,dr\,d\theta =2\pi\int_0^1 \frac{r}{\sqrt{1-r^2}}\,dr.Á
Fazendo u=1-r^2, obtém-se área igual a 2\pi. Esse é o resultado conhecido: área da hemisfera unitária é 2\pi. Esse exemplo mostra como a fórmula funciona na prática.

Passo 11

Dicas práticas para a prova:
  • Primeiro calcule f_x e f_y com cuidado.
  • Monte o integrando \sqrt{1+f_x^2+f_y^2}.
  • Escolha coordenadas convenientes para D (retangular: dx\,dy; disco: polares r\,dr\,d\theta).
  • Se f_x e f_y ficarem complicados, tente simplificar algébrica ou usar simetrias da região D.
  • Lembre-se do caso do plano, que é uma verificação rápida: o fator \sqrt{1+a^2+b^2} deve aparecer.

Resposta

\text{Área}(S)=\iint_{D}\sqrt{1+\bigl(f_x(x,y)\bigr)^2+\bigl(f_y(x,y)\bigr)^2}\;dx\,dyÁ
\text{(equivalente)}\qquad \text{Área}(S)=\iint_{D}\bigl\|\mathbf{r}_x\times\mathbf{r}_y\bigr\|\;dx\,dyÁ
\text{(variante em polares)}\qquad \text{Área}(S)=\iint_{D_{r,\theta}}\sqrt{1+f_x^2+f_y^2}\;r\,dr\,d\thetaÁ

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