a área de uma superfície,
nos casos onde a superfície é dada pelo gráfico de uma função de duas variáveis z=f(x, y).
Dica: parametrize a superfície por
\left\{\begin{array}{rlc} x & = & x \\\ y & = & y \\\ z & = & f(x, y) \end{array} \quad,(x, y) \in D\right.
Passo 1
O enunciado pede para obter a(s) fórmula(s) da área de uma superfície quando ela é dada como gráfico de uma função de duas variáveis. As informações que temos são:
A superfície é o gráfico de \,z=f(x,y)\, sobre uma região D do plano xy.
A parametrização sugerida é
\mathbf{r}(x,y)=\bigl(x,\,y,\,f(x,y)\bigr),\qquad (x,y)\in D.
O objetivo é achar uma expressão que permita calcular a área da superfície S=\{(x,y,f(x,y)):(x,y)\in D\} em termos de f e de D.
Passo 2
Intuição geométrica (passo crucial antes de calcular): pense em dividir D em pequenos retângulos \Delta x\times\Delta y. Cada retângulo é levado pela parametrização para um pequeno paralelogramo na superfície. A área desse pequeno paralelogramo é aproximadamente a área do paralelogramo gerado pelos vetores tangentes da superfície nas direções x e y, multiplicados por \Delta x e \Delta y. Para formalizar isso precisamos das derivadas parciais de \mathbf{r} e da regra que diz que a área de um paralelogramo gerado por dois vetores é o módulo do produto vetorial entre eles.
Explicando as derivadas parciais de forma bem simples: \partial f/\partial x mede a inclinação (o “declive”) da superfície quando você se mexe só na direção x; \partial f/\partial y mede a inclinação quando você se mexe só na direção y. Esses números vão aparecer na área do elemento porque determinam quanto o gráfico se “inclina” em cada direção, alterando a área do pequeno patch.
Passo 3
Calcular os vetores tangentes à parametrização. Derivando \mathbf{r}(x,y) parcialmente:
onde \,f_x=\dfrac{\partial f}{\partial x}\, e \,f_y=\dfrac{\partial f}{\partial y}\,. Esses vetores representam os deslocamentos na superfície quando x varia mantendo y fixo e quando y varia mantendo x fixo, respectivamente.
Passo 4
Área elementar via produto vetorial. A área do paralelogramo gerado por \mathbf{r}_x\Delta x e \mathbf{r}_y\Delta y é
\bigl\|\mathbf{r}_x\times\mathbf{r}_y\bigr\|\,\Delta x\,\Delta y.
No limite em que \Delta x,\Delta y\to0, isso dá o elemento de área da superfície:
\,f_x(x,y)=\dfrac{\partial f}{\partial x}(x,y)\, e \,f_y(x,y)=\dfrac{\partial f}{\partial y}(x,y)\,.
dx\,dy é a área elementar no plano; alternativamente escreve-se dA.
Passo 8
Variante em coordenadas polares (útil quando D é um disco ou região radial). Se usarmos x=r\cos\theta, y=r\sin\theta, então dx\,dy=r\,dr\,d\theta e a fórmula fica
Isso faz sentido: o gráfico do plano tem área igual à área da projeção no plano xy multiplicada pelo fator de alongamento \sqrt{1+a^2+b^2}.
Passo 10
Exemplo rápido 2 (hemisfério unitário) — um exemplo que ilustra cálculo completo. Seja f(x,y)=\sqrt{1-x^2-y^2} sobre o disco D=\{(x,y):x^2+y^2\le1\}. Calcula-se
Fazendo u=1-r^2, obtém-se área igual a 2\pi. Esse é o resultado conhecido: área da hemisfera unitária é 2\pi. Esse exemplo mostra como a fórmula funciona na prática.
Passo 11
Dicas práticas para a prova:
Primeiro calcule f_x e f_y com cuidado.
Monte o integrando \sqrt{1+f_x^2+f_y^2}.
Escolha coordenadas convenientes para D (retangular: dx\,dy; disco: polares r\,dr\,d\theta).
Se f_x e f_y ficarem complicados, tente simplificar algébrica ou usar simetrias da região D.
Lembre-se do caso do plano, que é uma verificação rápida: o fator \sqrt{1+a^2+b^2} deve aparecer.