Questão 2. Obtenha as fórmulas para
  • integral de superfície de campo vetorial (no espaço),
    nos casos onde a superfície é dada pelo gráfico de uma função de duas variáveis z=f(x, y).
    Dica: parametrize a superfície por
\left\{\begin{array}{rlc} x & = & x \\\ y & = & y \\\ z & = & f(x, y) \end{array} \quad,(x, y) \in D\right.

Passo 1

O enunciado pede para obter as fórmulas da integral de superfície de um campo vetorial no espaço quando a superfície é o gráfico de uma função de duas variáveis. Foi dada a parametrização sugerida (peguei isso do enunciado):
\left\{\begin{array}{rlc} x & = & x\\[4pt] y & = & y\\[4pt] z & = & f(x,y) \end{array}\right.,\qquad (x,y)\in D,
onde D é a região no plano xy que projeta a superfície. As perguntas são:
  • Escrever a expressão da integral de fluxo \iint_{S}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{S} em termos de uma integral dupla sobre D.
  • Escrever a expressão do elemento de área escalar dS da superfície (ou seja, \iint_{S}g\,dS para uma função escalar g).
    Não vou resolver um caso numérico — o objetivo é deduzir as fórmulas gerais.]

Passo 2

Vamos começar parametrizando explicitamente a superfície. Defina o mapa de parametrização \mathbf{r}:D\to\mathbb{R}^3 por
\mathbf{r}(x,y)=\big(x,\;y,\;f(x,y)\big).
Aqui x e y são os parâmetros que percorrem a região D. Em palavras: para cada ponto (x,y)\in D eu subo até a altura z=f(x,y) e esse ponto corresponde a um ponto da superfície S. Agora precisamos das derivadas parciais da parametrização em relação aos parâmetros x e y.

Passo 3

Calcule as derivadas parciais da parametrização (peguei f_x e f_y como as derivadas parciais de f):
\mathbf{r}_x(x,y)=\frac{\partial\mathbf{r}}{\partial x}=(1,\;0,\;f_x(x,y)),
\mathbf{r}_y(x,y)=\frac{\partial\mathbf{r}}{\partial y}=(0,\;1,\;f_y(x,y)).
Explanação rápida: \mathbf{r}_x é o vetor tangente à superfície quando variamos x mantendo y fixo; \mathbf{r}_y é o vetor tangente quando variamos y mantendo x fixo.

Passo 4

O vetor normal orientado (não unitário) à superfície é dado pelo produto vetorial \mathbf{r}_x\times\mathbf{r}_y. Vamos calcular esse produto vetorial passo a passo usando a fórmula do determinante:
\mathbf{r}_x\times\mathbf{r}_y= \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k}\\[4pt] 1 & 0 & f_x\\[4pt] 0 & 1 & f_y \end{vmatrix}.
Calculando os cofatores obtemos
\mathbf{r}_x\times\mathbf{r}_y = (-f_x,\; -f_y,\; 1).
Interpretação: esse vetor é perpendicular à superfície em cada ponto e seu componente z é 1, o que indica que este produto vetorial aponta para cima em termos do eixo z (quando adotamos esta ordem \mathbf{r}_x\times\mathbf{r}_y). Se quisermos a normal apontando para baixo, basta trocar a ordem ( \mathbf{r}_y\times\mathbf{r}_x = -(\mathbf{r}_x\times\mathbf{r}_y)).]

Passo 5

O elemento vetorial de área (o chamado d\mathbf{S} ou \mathbf{n}\,dS) associado à parametrização é
d\mathbf{S} = \big(\mathbf{r}_x\times\mathbf{r}_y\big)\,dA = (-f_x,\; -f_y,\; 1)\,dA,
onde dA é o elemento de área no plano xy (ou seja, dA=dx\,dy). Explicação: \mathbf{r}_x\times\mathbf{r}_y fornece tanto a direção normal quanto o fator de escala que transforma uma pequena área em D na área correspondente na superfície.

Passo 6

Agora a fórmula da integral de fluxo de um campo vetorial \mathbf{F}=(P,Q,R) através da superfície S (com a orientação dada por \mathbf{r}_x\times\mathbf{r}_y) é
\iint_{S}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{S} = \iint_{D}\mathbf{F}\big(x,y,f(x,y)\big)\cdot\big(\mathbf{r}_x\times\mathbf{r}_y\big)\,dA.
Substituindo \mathbf{r}_x\times\mathbf{r}_y=(-f_x,-f_y,1) e \mathbf{F}=(P,Q,R), obtemos a forma prática
\iint_{S}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{S} = \iint_{D}\big(-P(x,y,f(x,y))\,f_x(x,y)\;-\;Q(x,y,f(x,y))\,f_y(x,y)\;+\;R(x,y,f(x,y))\big)\,dA.
Observação importante sobre orientação: a expressão acima corresponde à normal escolhida por \mathbf{r}_x\times\mathbf{r}_y (tipicamente “apontando para cima”). Se for necessário a orientação contrária, basta mudar o sinal global da integral (ou usar \mathbf{r}_y\times\mathbf{r}_x).

Passo 7

É útil também escrever a forma com a normal unitária e o elemento de área escalar. O módulo do vetor normal não unitário é
\big\lVert\mathbf{r}_x\times\mathbf{r}_y\big\rVert = \sqrt{(-f_x)^2+(-f_y)^2+1^2} = \sqrt{1+f_x^2+f_y^2}.
Assim:
  • o elemento de área escalar da superfície é
dS = \sqrt{1+f_x^2+f_y^2}\,dA,
portanto, para uma função escalar g,
\iint_{S} g\,dS = \iint_{D} g\big(x,y,f(x,y)\big)\,\sqrt{1+f_x^2+f_y^2}\;dA.
  • a normal unitária (com mesma orientação de \mathbf{r}_x\times\mathbf{r}_y) é
\mathbf{n} = \frac{(-f_x,\,-f_y,\,1)}{\sqrt{1+f_x^2+f_y^2}}.
Logo a fórmula alternativa da integral de fluxo com a normal unitária é
\iint_{S}\mathbf{F}\cdot\mathbf{n}\,dS = \iint_{D}\mathbf{F}\big(x,y,f(x,y)\big)\cdot\frac{(-f_x,-f_y,1)}{\sqrt{1+f_x^2+f_y^2}}\;\sqrt{1+f_x^2+f_y^2}\;dA,
o que reduz-se à mesma expressão que demos antes (o fator \sqrt{\cdot} cancela).

Passo 8

Para fixar a intuição, um exemplo rápido (sem cálculos longos): se \mathbf{F}=(0,0,1) (campo vertical unitário) então a fórmula dá
\iint_{S}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{S}=\iint_{D}1\,dA,
ou seja, o fluxo é simplesmente a área projetada D — faz sentido: um campo vertical atravessa a superfície na mesma quantidade que atravessaria a projeção no plano xy.

Resposta

\iint_{S}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{S}=\iint_{D}\mathbf{F}\big(x,y,f(x,y)\big)\cdot\big(-f_x(x,y),\,-f_y(x,y),\,1\big)\,dA
\iint_{S}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{S}=\iint_{D}\big(-P(x,y,f(x,y))\,f_x(x,y)-Q(x,y,f(x,y))\,f_y(x,y)+R(x,y,f(x,y))\big)\,dA
dS=\sqrt{1+f_x^2+f_y^2}\,dA\quad\Rightarrow\quad \iint_{S}g\,dS=\iint_{D}g\big(x,y,f(x,y)\big)\sqrt{1+f_x^2+f_y^2}\,dA
\mathbf{n}=\frac{(-f_x,-f_y,1)}{\sqrt{1+f_x^2+f_y^2}}

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