integral de superfície de campo vetorial (no espaço),
nos casos onde a superfície é dada pelo gráfico de uma função de duas variáveis z=f(x, y).
Dica: parametrize a superfície por
\left\{\begin{array}{rlc} x & = & x \\\ y & = & y \\\ z & = & f(x, y) \end{array} \quad,(x, y) \in D\right.
Passo 1
O enunciado pede para obter as fórmulas da integral de superfície de um campo vetorial no espaço quando a superfície é o gráfico de uma função de duas variáveis. Foi dada a parametrização sugerida (peguei isso do enunciado):
\left\{\begin{array}{rlc} x & = & x\\[4pt] y & = & y\\[4pt] z & = & f(x,y) \end{array}\right.,\qquad (x,y)\in D,
onde D é a região no plano xy que projeta a superfície. As perguntas são:
Escrever a expressão da integral de fluxo \iint_{S}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{S} em termos de uma integral dupla sobre D.
Escrever a expressão do elemento de área escalar dS da superfície (ou seja, \iint_{S}g\,dS para uma função escalar g).
Não vou resolver um caso numérico — o objetivo é deduzir as fórmulas gerais.]
Passo 2
Vamos começar parametrizando explicitamente a superfície. Defina o mapa de parametrização \mathbf{r}:D\to\mathbb{R}^3 por
\mathbf{r}(x,y)=\big(x,\;y,\;f(x,y)\big).
Aqui x e y são os parâmetros que percorrem a região D. Em palavras: para cada ponto (x,y)\in D eu subo até a altura z=f(x,y) e esse ponto corresponde a um ponto da superfície S. Agora precisamos das derivadas parciais da parametrização em relação aos parâmetros x e y.
Passo 3
Calcule as derivadas parciais da parametrização (peguei f_x e f_y como as derivadas parciais de f):
Explanação rápida: \mathbf{r}_x é o vetor tangente à superfície quando variamos x mantendo y fixo; \mathbf{r}_y é o vetor tangente quando variamos y mantendo x fixo.
Passo 4
O vetor normal orientado (não unitário) à superfície é dado pelo produto vetorial \mathbf{r}_x\times\mathbf{r}_y. Vamos calcular esse produto vetorial passo a passo usando a fórmula do determinante:
Interpretação: esse vetor é perpendicular à superfície em cada ponto e seu componente z é 1, o que indica que este produto vetorial aponta para cima em termos do eixo z (quando adotamos esta ordem \mathbf{r}_x\times\mathbf{r}_y). Se quisermos a normal apontando para baixo, basta trocar a ordem (\mathbf{r}_y\times\mathbf{r}_x = -(\mathbf{r}_x\times\mathbf{r}_y)).]
Passo 5
O elemento vetorial de área (o chamado d\mathbf{S} ou \mathbf{n}\,dS) associado à parametrização é
onde dA é o elemento de área no plano xy (ou seja, dA=dx\,dy). Explicação: \mathbf{r}_x\times\mathbf{r}_y fornece tanto a direção normal quanto o fator de escala que transforma uma pequena área em D na área correspondente na superfície.
Passo 6
Agora a fórmula da integral de fluxo de um campo vetorial \mathbf{F}=(P,Q,R) através da superfície S (com a orientação dada por \mathbf{r}_x\times\mathbf{r}_y) é
Observação importante sobre orientação: a expressão acima corresponde à normal escolhida por \mathbf{r}_x\times\mathbf{r}_y (tipicamente “apontando para cima”). Se for necessário a orientação contrária, basta mudar o sinal global da integral (ou usar \mathbf{r}_y\times\mathbf{r}_x).
Passo 7
É útil também escrever a forma com a normal unitária e o elemento de área escalar. O módulo do vetor normal não unitário é
ou seja, o fluxo é simplesmente a área projetada D — faz sentido: um campo vertical atravessa a superfície na mesma quantidade que atravessaria a projeção no plano xy.