Derive a funções abaixo.
y=e^{x} \tan (x)
y=e^{x} \tan (x)
Passo 1
O enunciado pede para derivar a função
. Informações dadas:
- A função depende da variável
. - A expressão é
. - Domínio implícito: valores de
tais que (pois não está definida onde ). - Objetivo: encontrar
.
Passo 2
Quando uma função é produto de duas funções, uma regra direta para obter a derivada é a regra do produto. Vou escrever essa regra e explicar o que cada símbolo significa.
Regra do produto: se
então
Aqui:
-
e são duas funções de ; -
é a derivada de em relação a ; -
é a derivada de em relação a ; - o produto se deriva somando “derivada da primeira vezes a segunda” mais “primeira vezes derivada da segunda”.
Identificamos, na nossa função,
Passo 3
Calcular
(derivada de
). Regra básica:
Explicação curta e intuitiva: a função exponencial
tem a propriedade especial de que sua taxa de variação é igual ao próprio valor, por definição da base
. Logo,
Passo 4
Calcular
(derivada de
). Uma maneira clara de obter isso é escrever
e usar a regra do quociente. Primeiro lembro as derivadas básicas:
Regra do quociente: se
então
Aplicando com
e
:
Usando a identidade trigonométrica
, obtemos
A notação tradicional para
é
. Portanto
Passo 5
Agora aplico a regra do produto com os resultados obtidos:
Substituindo
,
,
e
, vem
Podemos fatorar
(que é comum nos dois termos) para deixar a resposta mais compacta:
Passo 6
Verificação rápida por um valor simples para ganhar confiança: em
,
e
. Assim a fórmula dá
. Faz sentido porque perto de zero a variação é dominada por esses termos — é só uma checagem numérica simples.