Derive a funções abaixo.
y=e^{x} \tan (x)

Passo 1

O enunciado pede para derivar a função y = e^{x}\tan(x). Informações dadas:
  • A função depende da variável x.
  • A expressão é y = e^{x}\tan(x).
  • Domínio implícito: valores de x tais que \cos(x)\neq0 (pois \tan(x) não está definida onde \cos(x)=0).
  • Objetivo: encontrar y'=\dfrac{dy}{dx}.

Passo 2

Quando uma função é produto de duas funções, uma regra direta para obter a derivada é a regra do produto. Vou escrever essa regra e explicar o que cada símbolo significa.
Regra do produto: se \;y = u(x)\,v(x)\; então
y' = u'(x)\,v(x) + u(x)\,v'(x).
Aqui:
  • u(x) e v(x) são duas funções de x;
  • u'(x) é a derivada de u em relação a x;
  • v'(x) é a derivada de v em relação a x;
  • o produto se deriva somando “derivada da primeira vezes a segunda” mais “primeira vezes derivada da segunda”.
Identificamos, na nossa função,
u(x)=e^{x},\qquad v(x)=\tan(x).

Passo 3

Calcular u'(x) (derivada de u=e^{x}). Regra básica:
\frac{d}{dx}e^{x}=e^{x}.
Explicação curta e intuitiva: a função exponencial e^{x} tem a propriedade especial de que sua taxa de variação é igual ao próprio valor, por definição da base e. Logo,
u'(x)=e^{x}.

Passo 4

Calcular v'(x) (derivada de v=\tan(x)). Uma maneira clara de obter isso é escrever \tan(x)=\dfrac{\sin(x)}{\cos(x)} e usar a regra do quociente. Primeiro lembro as derivadas básicas:
\frac{d}{dx}\sin(x)=\cos(x),\qquad \frac{d}{dx}\cos(x)=-\sin(x).
Regra do quociente: se w(x)=\dfrac{p(x)}{q(x)} então
w'(x)=\frac{p'(x)q(x)-p(x)q'(x)}{q(x)^2}.
Aplicando com p(x)=\sin(x) e q(x)=\cos(x):
\frac{d}{dx}\tan(x)=\frac{\cos(x)\cdot\cos(x)-\sin(x)\cdot(-\sin(x))}{\cos^2(x)} = \frac{\cos^2(x)+\sin^2(x)}{\cos^2(x)}.
Usando a identidade trigonométrica \sin^2(x)+\cos^2(x)=1, obtemos
\frac{d}{dx}\tan(x)=\frac{1}{\cos^2(x)}.
A notação tradicional para \dfrac{1}{\cos^2(x)} é \operatorname{sec}^2(x). Portanto
v'(x)=\operatorname{sec}^2(x).

Passo 5

Agora aplico a regra do produto com os resultados obtidos:
y' = u'(x)\,v(x) + u(x)\,v'(x).
Substituindo u'(x)=e^{x}, v(x)=\tan(x), u(x)=e^{x} e v'(x)=\operatorname{sec}^2(x), vem
y' = e^{x}\tan(x) + e^{x}\operatorname{sec}^2(x).
Podemos fatorar e^{x} (que é comum nos dois termos) para deixar a resposta mais compacta:
y' = e^{x}\bigl(\tan(x)+\operatorname{sec}^2(x)\bigr).

Passo 6

Verificação rápida por um valor simples para ganhar confiança: em x=0, \tan(0)=0 e \operatorname{sec}^2(0)=1. Assim a fórmula dá y'(0)=e^{0}(0+1)=1. Faz sentido porque perto de zero a variação é dominada por esses termos — é só uma checagem numérica simples.

Resposta

y' = e^{x}\bigl(\tan(x)+\operatorname{sec}^{2}(x)\bigr)

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