Estude a convergência da série \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^{\left(n+\frac{1}{n}\right)}}{\left(A n+\frac{1}{n}\right)^{n}}

Passo 1

O enunciado nos dá a série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^{\left(n+\frac{1}{n}\right)}}{\left(A n+\frac{1}{n}\right)^{n}}
com A um parâmetro (assumir A\in\mathbb{R}). A pergunta é: para quais valores de A essa série converge ou diverge?
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • O termo geral é a_n=\dfrac{n^{\left(n+\frac{1}{n}\right)}}{\left(A n+\frac{1}{n}\right)^{n}}.
  • Precisamos estudar convergência da série em função de A.
  • Não há outras condicionantes (por exemplo A real, sem restrições adicionais).

Passo 2

Escolha do método: a série tem uma potência (\cdot)^{n} no termo geral, então o Teste da Raiz (teste de Cauchy) é muito apropriado — ele examina o comportamento de |a_n|^{1/n} quando n\to\infty. Vou usar esse teste porque transforma fatores elevados a n em algo mais simples e nos dá uma condição clara envolvendo um limite.
Breve explicação do Teste da Raiz (didática):
  • Dados a_n, defina L=\limsup_{n\to\infty} |a_n|^{1/n}.
  • Se L<1 então a série \sum a_n converge absolutamente.
  • Se L>1 então a série diverge (os termos não tendem a zero).
  • Se L=1 o teste é inconclusivo e será preciso analisar caso a caso.

Passo 3

Simplificar o termo geral antes de aplicar o teste. Começo manipulando a_n:
a_n=\frac{n^{n+\frac{1}{n}}}{\left(A n+\frac{1}{n}\right)^{n}} = \left(\frac{n}{A n+\frac{1}{n}}\right)^{n}\cdot n^{\frac{1}{n}}.
Agora simplifico a fração interna:
\frac{n}{A n+\frac{1}{n}}=\frac{1}{A + \frac{1}{n^{2}}}.
Logo uma forma conveniente é
a_n=\left(\frac{1}{A+\frac{1}{n^{2}}}\right)^{n}\cdot n^{\frac{1}{n}}.

Passo 4

Aplicar o Teste da Raiz: calcule |a_n|^{1/n}.
|a_n|^{1/n}=\left|\frac{1}{A+\frac{1}{n^{2}}}\right|\cdot n^{\frac{1}{n^{2}}}.
Agora analisar o comportamento dos dois fatores quando n\to\infty:
  • O primeiro fator \left|\dfrac{1}{A+\frac{1}{n^{2}}}\right| tende para \dfrac{1}{|A|} quando A\neq 0, pois A+\dfrac{1}{n^{2}}\to A.
  • O segundo fator n^{\frac{1}{n^{2}}} tende para 1. Para ver isso de forma clara, tome logaritmo: \ln\!\big(n^{\frac{1}{n^{2}}}\big)=\frac{\ln n}{n^{2}}\xrightarrow[n\to\infty]{}0,portanto n^{\frac{1}{n^{2}}}\to e^{0}=1.
Consequentemente, quando A\neq 0,
\lim_{n\to\infty}|a_n|^{1/n}=\frac{1}{|A|}.
Se A=0, então \left|\dfrac{1}{A+\dfrac{1}{n^{2}}}\right|=n^{2} e assim |a_n|^{1/n}=n^{2}\,n^{1/n^{2}}\to\infty, portanto o caso A=0 já dá divergência imediata (limite da raiz maior que 1).

Passo 5

Aplicar as conclusões do Teste da Raiz aos casos:
  • Se |A|>1 então \dfrac{1}{|A|}<1. Pelo teste da raiz, L=\dfrac{1}{|A|}<1 implica que a série converge absolutamente.
  • Se 0<|A|<1 então \dfrac{1}{|A|}>1. Pelo teste da raiz, L>1 implica divergência (os termos não tendem a zero).
  • Se A=0 já vimos que |a_n|^{1/n}\to\infty, logo diverge.
Resta analisar o caso limite |A|=1, pois o teste da raiz dá L=1 e fica inconclusivo.

Passo 6

Estudar o caso |A|=1, ou seja A=1 e A=-1 separadamente.
Caso A=1:
a_n=\left(\frac{1}{1+\frac{1}{n^{2}}}\right)^{n}\cdot n^{\frac{1}{n}}.
Estudo \lim_{n\to\infty} a_n. Tome logaritmo:
\ln a_n = n\ln\!\left(\frac{1}{1+\frac{1}{n^{2}}}\right) + \frac{\ln n}{n} = -\,n\ln\!\left(1+\frac{1}{n^{2}}\right) + \frac{\ln n}{n}.
Usando a expansão \ln(1+x)=x+O(x^{2}) para x=n^{-2},
-\,n\ln\!\left(1+\frac{1}{n^{2}}\right) = -\,n\left(\frac{1}{n^{2}}+O\!\left(\frac{1}{n^{4}}\right)\right) = -\frac{1}{n}+O\!\left(\frac{1}{n^{3}}\right).
Além disso \dfrac{\ln n}{n}\to 0. Logo \ln a_n\to 0, o que implica a_n\to 1. Como os termos do somatório não tendem a zero, a série diverge (teste necessário da convergência: termos devem tender a zero).
Caso A=-1:
a_n=\left(\frac{1}{-1+\frac{1}{n^{2}}}\right)^{n}\cdot n^{\frac{1}{n}} =\left(-\frac{1}{1-\frac{1}{n^{2}}}\right)^{n}\cdot n^{\frac{1}{n}} = (-1)^{n}\left(\frac{1}{1-\frac{1}{n^{2}}}\right)^{n}\cdot n^{\frac{1}{n}}.
Estudo o módulo:
|a_n|=\left(\frac{1}{1-\frac{1}{n^{2}}}\right)^{n}\cdot n^{\frac{1}{n}}.
Tome logaritmo do módulo:
\ln|a_n| = -\,n\ln\!\left(1-\frac{1}{n^{2}}\right) + \frac{\ln n}{n}.
Usando \ln(1-x)=-x+O(x^{2}) com x=n^{-2},
-\,n\ln\!\left(1-\frac{1}{n^{2}}\right) = -\,n\left(-\frac{1}{n^{2}}+O\!\left(\frac{1}{n^{4}}\right)\right)=\frac{1}{n}+O\!\left(\frac{1}{n^{3}}\right).
Assim \ln|a_n|\to 0, logo |a_n|\to 1. Portanto a_n não tende para zero (oscila entre sinais, com módulo próximo de 1), e a série também diverge.

Passo 7

Conclusão final do estudo:
  • Para |A|>1 a série converge absolutamente.
  • Para |A|\le 1 a série diverge (nos casos A=\pm 1 os termos tendem a \pm 1 em módulo e não vão a zero; para |A|<1 ou A=0 os termos crescem exponencialmente em módulo).

Resposta

A série converge absolutamente se |A|>1.
A série diverge se |A|\le 1.

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