Considere as séries abaixo, verifique a convergência:
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{4 n^{2}-2 n+3}{3 n^{5}-2 n^{3}+73 n^{2}-17}

Passo 1

O enunciado pede para verificar a convergência da série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{4 n^{2}-2 n+3}{3 n^{5}-2 n^{3}+73 n^{2}-17}.
Informações dadas e observações iniciais:
  • O termo geral da série é \displaystyle a_n=\frac{4 n^{2}-2 n+3}{3 n^{5}-2 n^{3}+73 n^{2}-17}.
  • Para n grande o numerador é da ordem de n^{2} e o denominador da ordem de n^{5}, logo intuitivamente a_n decai como uma constante vezes 1/n^{3}.
  • A série pedida é a soma de termos positivos a partir de n=1 (o denominador vale 57 para n=1, logo não há zero ou sinal trocado nos primeiros termos).

Passo 2

Apresentação da ferramenta que vamos usar e porquê (explicada passo a passo).
  • Definição/teorema útil (Teste da comparação limite): sejam duas sequências positivas (a_n) e (b_n). Se
\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n}=c,
com 0<c<\infty, então as séries \sum a_n e \sum b_n convergem ou divergem simultaneamente. Em palavras: se os termos são assintoticamente proporcionais por uma constante positiva, as séries têm o mesmo comportamento de convergência.
  • Outra coisa que precisamos lembrar é o critério para séries tipo p-série: a série
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{p}}
converge se, e somente se, p>1. Este é um resultado padrão muito útil: para p=3 a série converge.

Passo 3

Escolha da comparação e preparação do cálculo do limite.
  • Pelo aspecto assintótico do termo a_n (numerador \sim 4n^{2}, denominador \sim 3n^{5}), uma escolha natural para comparação é
b_n=\frac{1}{n^{3}},
pois então esperamos que a_n seja proporcional a b_n quando n\to\infty.
  • Vamos calcular o limite
\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n} =\lim_{n\to\infty} n^{3}\,a_n =\lim_{n\to\infty} n^{3}\cdot\frac{4 n^{2}-2 n+3}{3 n^{5}-2 n^{3}+73 n^{2}-17}.

Passo 4

Cálculo explícito do limite, passo a passo (sem pular etapas).
  • Escrevemos o produto e fatoramos potências de n. Uma forma sistemática é dividir numerador e denominador por n^{5}:
n^{3}\cdot\frac{4 n^{2}-2 n+3}{3 n^{5}-2 n^{3}+73 n^{2}-17} =\frac{4 n^{5}-2 n^{4}+3 n^{3}}{3 n^{5}-2 n^{3}+73 n^{2}-17} =\frac{\dfrac{4 n^{5}-2 n^{4}+3 n^{3}}{n^{5}}}{\dfrac{3 n^{5}-2 n^{3}+73 n^{2}-17}{n^{5}}}.
  • Agora dividindo cada termo por n^{5} temos
\frac{4 - \dfrac{2}{n} + \dfrac{3}{n^{2}}}{3 - \dfrac{2}{n^{2}} + \dfrac{73}{n^{3}} - \dfrac{17}{n^{5}}}.
  • Tomando n\to\infty, os termos que têm 1/n, 1/n^{2}, etc., tendem a zero. Portanto o limite é
\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n} =\frac{4-0+0}{3-0+0-0} =\frac{4}{3}.
  • Observação: \dfrac{4}{3} é um número finito e estritamente positivo, ou seja 0<\dfrac{4}{3}<\infty.

Passo 5

Aplicação do teste e conclusão do tipo de convergência.
  • Pelo teste da comparação limite (Passo 2), como
\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n}=\frac{4}{3}\in(0,\infty),
as séries \sum a_n e \sum b_n têm o mesmo comportamento: ou as duas convergem ou as duas divergem.
  • Sabemos que \sum b_n=\sum \dfrac{1}{n^{3}} é uma série p-série com p=3>1, logo converge.
  • Portanto \sum a_n também converge.
  • Como todos os termos a_n são positivos, essa convergência é de fato convergência absoluta (para séries de termos não-negativos não se faz distinção entre convergência e convergência absoluta).

Resposta

Converge (convergência absoluta).

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