Derive as funções:
f(t)=\frac{\operatorname{tg}(t)-1}{\operatorname{sec} (t)}

Passo 1

O enunciado pede a derivada da função
f(t)=\frac{\tan(t)-1}{\operatorname{sec}(t)}.
O conteúdo é derivação de funções trigonométricas e aplicação de identidades que podem simplificar o cálculo antes de derivar.

Passo 2

Vamos simplificar f(t) usando identidades trigonométricas. Sabemos que \operatorname{sec}(t)=1/\cos(t), logo
\frac{1}{\operatorname{sec}(t)}=\cos(t).
Também \tan(t)=\frac{\sin(t)}{\cos(t)}. Então
f(t)=\bigl(\tan(t)-1\bigr)\cos(t) =\frac{\sin(t)}{\cos(t)}\cos(t)-1\cdot\cos(t) =\sin(t)-\cos(t).

Passo 3

Agora derivamos a forma simplificada
f(t)=\sin(t)-\cos(t).
Usamos as derivadas conhecidas: \frac{d}{dt}\sin(t)=\cos(t) e \frac{d}{dt}[-\cos(t)]=+\sin(t). Portanto,
f'(t)=\cos(t)+\sin(t).

Resposta

f'(t)=\sin(t)+\cos(t).

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