Derive as funções:
f(x)=\frac{1}{\operatorname{sen}(x)+\cos (x)}

Passo 1

O enunciado pede para derivar a função
f(x)=\frac{1}{\operatorname{sen}(x)+\cos(x)}.
O que vamos usar é a regra da cadeia aplicada a uma função do tipo f(x)=(u(x))^{-1}, onde u(x)=\operatorname{sen}(x)+\cos(x).

Passo 2

Definimos
u(x)=\operatorname{sen}(x)+\cos(x).
Para derivar, precisamos de
u'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(\operatorname{sen}(x)\bigr)+\frac{d}{dx}\bigl(\cos(x)\bigr) =\cos(x)-\operatorname{sen}(x).

Passo 3

Usando a regra da cadeia para f(x)=(u(x))^{-1}, temos
f'(x)=-\frac{u'(x)}{\bigl(u(x)\bigr)^{2}} =-\frac{\cos(x)-\operatorname{sen}(x)}{\bigl(\operatorname{sen}(x)+\cos(x)\bigr)^{2}}.
Podemos também reescrever o numerador tirando o sinal negativo:
-\bigl(\cos(x)-\operatorname{sen}(x)\bigr) =\operatorname{sen}(x)-\cos(x).

Resposta

f'(x) =\frac{\operatorname{sen}(x)-\cos(x)}{\bigl(\operatorname{sen}(x)+\cos(x)\bigr)^{2}}.

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