Derive as funções:
f(t)=\operatorname{sec} (t)

Passo 1

O enunciado pede para encontrarmos a derivada de f(t)=\operatorname{sec}(t). O conteúdo principal aqui é derivação de funções trigonométricas, que pode ser feito usando a regra do quociente ou reconhecendo a fórmula padrão de \operatorname{sec}(x).

Passo 2

Reescrevemos
f(t)=\operatorname{sec}(t)
como
f(t)=\frac{1}{\cos(t)}.
Assim, vamos aplicar a regra do quociente: se u(t)=1 e v(t)=\cos(t), então
f(t)=\frac{u(t)}{v(t)}.

Passo 3

Pela regra do quociente,
f'(t) =\frac{u'(t)\,v(t)-u(t)\,v'(t)}{[v(t)]^2} =\frac{0\cdot\cos(t)-1\cdot(-\sin(t))}{\cos^2(t)} =\frac{\sin(t)}{\cos^2(t)}.

Passo 4

Para simplificar, note que
\frac{\sin(t)}{\cos^2(t)} =\frac{1}{\cos(t)}\;\frac{\sin(t)}{\cos(t)} =\operatorname{sec}(t)\,\tan(t).

Resposta

\operatorname{sec}(t)\,\tan(t)

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