Derive as funções:
f(x)=e^{x}

Passo 1

O enunciado pede a derivada da função \,f(x)=e^{x}.
O conteúdo aqui é a derivação de uma exponencial na base e. Para isso, vamos usar a definição de derivada pelo limite:
f'(x)=\lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}.

Passo 2

Aplicando a definição à função f(x)=e^{x}, temos:
f'(x) =\lim_{h\to0}\frac{e^{\,x+h}-e^{\,x}}{h} =\lim_{h\to0}\frac{e^{x}\,e^{h}-e^{x}}{h}.
Agora fatoramos e^{x} no numerador:
f'(x) =e^{x}\,\lim_{h\to0}\frac{e^{h}-1}{h}.

Passo 3

Resta avaliar o limite \lim_{h\to0}\frac{e^{h}-1}{h}.
Pela definição da função exponencial ou pela sua série de Taylor, sabe-se que
\lim_{h\to0}\frac{e^{h}-1}{h}=1.
Portanto,
f'(x)=e^{x}\cdot1=e^{x}.

Resposta

A derivada de f(x)=e^{x} é
f'(x)=e^{x}.

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