Derive as funções:
f(x)=\cos \left(\frac{1-2^{x^{2}}}{1+e^{2 x}}\right)

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=\cos\!\biggl(\frac{1-2^{x^{2}}}{1+e^{2x}}\biggr).
O conteúdo principal aqui é a regra da cadeia aplicada à função composta \cos de uma função racional, e dentro dela teremos a regra do quociente e derivadas de exponenciais e de 2^{x^{2}}.

Passo 2

Definimos a função interna
g(x)=\frac{1-2^{x^{2}}}{1+e^{2x}},
de modo que f(x)=\cos\bigl(g(x)\bigr). Pela regra da cadeia,
f'(x) = -\sin\bigl(g(x)\bigr)\,\cdot g'(x).

Passo 3

Para achar g'(x) usamos a regra do quociente em
g(x)=\frac{u(x)}{v(x)},\quad u(x)=1-2^{x^{2}},\quad v(x)=1+e^{2x}.
Então
g'(x)=\frac{u'(x)\,v(x)-u(x)\,v'(x)}{\bigl(v(x)\bigr)^{2}}.

Passo 4

Calculamos u'(x). Como 2^{x^{2}}=e^{x^{2}\ln2},
u'(x)= -\frac{d}{dx}\bigl(2^{x^{2}}\bigr) = -2^{x^{2}}\cdot\frac{d}{dx}(x^{2})\cdot\ln2 = -2^{x^{2}}\cdot2x\ln2.

Passo 5

Agora v'(x). Como v(x)=1+e^{2x},
v'(x)=\frac{d}{dx}(e^{2x})=e^{2x}\cdot2=2e^{2x}.

Passo 6

Substituindo em g'(x):
g'(x) =\frac{\bigl(-2^{x^{2}}\cdot2x\ln2\bigr)\,(1+e^{2x}) -\bigl(1-2^{x^{2}}\bigr)\,(2e^{2x})} {(1+e^{2x})^{2}}.
Podemos deixar assim ou desenvolver mais, mas já está na forma certa.

Passo 7

Finalmente, combinamos com f'(x)=-\sin(g(x))\,g'(x). Voltando a g(x):
f'(x) =-\sin\!\Bigl(\tfrac{1-2^{x^{2}}}{1+e^{2x}}\Bigr) \;\cdot\; \frac{-2^{x^{2}}\cdot2x\ln2\,(1+e^{2x}) -(1-2^{x^{2}})\,2e^{2x}}{(1+e^{2x})^{2}}.

Resposta

f'(x) =-\sin\!\Bigl(\tfrac{1-2^{x^{2}}}{1+e^{2x}}\Bigr) \;\frac{-2^{x^{2}}\cdot2x\ln2\,(1+e^{2x}) -(1-2^{x^{2}})\,2e^{2x}}{(1+e^{2x})^{2}}.

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