Derive as funções:
f(x)=x \operatorname{sen}\left(\frac{1}{x}\right)

Passo 1

Estamos com a função
f(x)=x\,\operatorname{sen}\!\Bigl(\tfrac{1}{x}\Bigr),
definida para x\neq0. Para encontrar f'(x), vamos usar a regra do produto (pois há um x multiplicando outra função) e, dentro desta, a regra da cadeia para derivar \operatorname{sen}(1/x).

Passo 2

Separe em duas funções auxiliares:
u(x)=x \quad\text{e}\quad v(x)=\operatorname{sen}\!\Bigl(\tfrac{1}{x}\Bigr).
Pela regra do produto,
f'(x)=u'(x)\,v(x)+u(x)\,v'(x).

Passo 3

Calcule u'(x) e v'(x):
  • u'(x)=1.
  • Para v'(x), use cadeia:
v'(x)=\frac{d}{dx}\bigl[\operatorname{sen}(1/x)\bigr] =\cos\!\Bigl(\tfrac{1}{x}\Bigr)\cdot\frac{d}{dx}\Bigl(\tfrac{1}{x}\Bigr) =\cos\!\Bigl(\tfrac{1}{x}\Bigr)\cdot\bigl(-\tfrac{1}{x^2}\bigr).

Passo 4

Substituindo em f'(x)=u'v+u\,v':
f'(x) =1\cdot\operatorname{sen}\!\bigl(\tfrac{1}{x}\bigr) + x\cdot\Bigl[\cos\!\bigl(\tfrac{1}{x}\bigr)\,(-\tfrac{1}{x^2})\Bigr] =\operatorname{sen}\!\Bigl(\tfrac{1}{x}\Bigr) -\frac{x}{x^2}\,\cos\!\Bigl(\tfrac{1}{x}\Bigr) =\operatorname{sen}\!\Bigl(\tfrac{1}{x}\Bigr) -\frac{1}{x}\,\cos\!\Bigl(\tfrac{1}{x}\Bigr).

Resposta

f'(x)=\operatorname{sen}\!\Bigl(\tfrac{1}{x}\Bigr) -\frac{1}{x}\,\cos\!\Bigl(\tfrac{1}{x}\Bigr), \quad x\neq0.

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