Derive as funções:
f(x)=\frac{\operatorname{tg}(x)}{x^{3}-3^{x}}

Passo 1

O enunciado nos dá a função
f(x) = \frac{\tan(x)}{\,x^3 - 3^x\,}
e pede f'(x). Para isso, vamos usar a regra do quociente, além das derivadas básicas de \tan(x), de x^3 e de 3^x.

Passo 2

Calculamos a derivada do numerador
u(x) = \tan(x) \quad\Longrightarrow\quad u'(x) = \operatorname{sec}^2(x),
e a derivada do denominador
v(x) = x^3 - 3^x \quad\Longrightarrow\quad v'(x) = 3x^2 - 3^x\ln(3).

Passo 3

Aplicamos a regra do quociente, que diz
\biggl(\frac{u}{v}\biggr)' = \frac{u'\,v - u\,v'}{v^2}.
Substituindo u, u', v e v', obtemos
f'(x) = \frac{\operatorname{sec}^2(x)\,\bigl(x^3 - 3^x\bigr)\;-\;\tan(x)\,\bigl(3x^2 - 3^x\ln(3)\bigr)}{\bigl(x^3 - 3^x\bigr)^2}.

Resposta

f'(x) = \frac{\operatorname{sec}^2(x)\,\bigl(x^3 - 3^x\bigr)\;-\;\tan(x)\,\bigl(3x^2 - 3^x\ln(3)\bigr)}{\bigl(x^3 - 3^x\bigr)^2}.

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