Derive as funções:
f(x)=\log _{9}(x) \sqrt[4]{x}

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=\log_{9}(x)\,\sqrt[4]{x}.
Aqui vamos usar:
  1. Regra do produto, pois f é produto de duas funções.
  2. Regra da derivada de potência, para \sqrt[4]{x}=x^{1/4}.
  3. Derivada do logaritmo em base qualquer:
\frac{d}{dx}\bigl(\log_{a}x\bigr)=\frac{1}{x\,\ln(a)}.

Passo 2

Primeiro reescrevemos cada parte em forma mais útil:
\log_{9}(x)=\frac{\ln(x)}{\ln(9)}, \qquad \sqrt[4]{x}=x^{1/4}.
Logo
f(x)=\frac{\ln(x)}{\ln(9)}\;x^{1/4}.

Passo 3

Aplicamos a regra do produto: se u(x)=\frac{\ln(x)}{\ln(9)} e v(x)=x^{1/4}, então
f'(x)=u'(x)\,v(x)+u(x)\,v'(x).
Calculamos cada derivada:
u'(x)=\frac{d}{dx}\Bigl(\frac{\ln(x)}{\ln(9)}\Bigr) =\frac{1}{\ln(9)}\;\frac{1}{x} =\frac{1}{x\,\ln(9)},
v'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(x^{1/4}\bigr) =\frac{1}{4}\,x^{-3/4}.

Passo 4

Substituindo em f'(x):
f'(x) =\frac{1}{x\,\ln(9)}\;x^{1/4} +\frac{\ln(x)}{\ln(9)}\;\frac{1}{4}\,x^{-3/4}.
Simplificando o primeiro termo:
\frac{x^{1/4}}{x\,\ln(9)}=x^{-3/4}\,\frac{1}{\ln(9)}.

Passo 5

Colocando sob denominador comum 4\,x^{3/4}\,\ln(9):
f'(x) =\frac{4}{4\,x^{3/4}\,\ln(9)} +\frac{\ln(x)}{4\,x^{3/4}\,\ln(9)} =\frac{4+\ln(x)}{4\,x^{3/4}\,\ln(9)}.

Resposta

\boxed{ f'(x)=\frac{4+\ln(x)}{4\,x^{3/4}\,\ln(9)} }.

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