Derive as funções:
Passo 1
O enunciado nos dá a função
. O que se pede (vou escrever aqui de forma explícita) é:
- Calcular a derivada parcial de
em relação a , isto é . - Calcular a derivada parcial de
em relação a , isto é .
As informações relevantes fornecidas são exatamente os três termos que compõem: , e .
Passo 2
O que é uma derivada parcial? Aqui vai uma explicação bem prática e direta, como se estivéssemos no caderno:
- A derivada parcial de
em relação a , , mede como varia quando só muda e é mantido fixo. - A derivada parcial de
em relação a , , mede como varia quando só muda e é mantido fixo.
Formalmente a derivada parcial empode ser definida por limite, mas na prática de prova usamos as regras de derivação normais tratando a outra variável como constante.
Passo 3
Relembrando as regras básicas que vamos usar (e por que elas valem aqui):
- Regra do somatório: a derivada de uma soma é a soma das derivadas. Assim podemos derivar termo a termo.
- Regra do fator constante: se uma expressão é um produto de constante por uma função, a constante sai da derivada.
- Regra da potência (para uma variável):
. Quando outra variável aparece como fator (por exemplo ), ela é tratada como constante ao derivar em relação a .
Vamos aplicar isso termo a termo.
Passo 4
Derivada parcial em relação a
:
.
Escrevendo termo a termo:
Escrevendo
Derivamos cada termo tratando
como constante:
- Para
: o fator é constante; pela regra da constante e da potência:
- Para
: como aqui não há (é constante em ), a derivada é :
- Para
: é uma função linear em , a derivada é o coeficiente:
Somando as contribuições:
Passo 5
Pausa rápida de motivação (você consegue!): isso é exatamente o procedimento que vale na prova — pegue a função, separe em termos, trate a outra variável como constante e aplique potência/constante/soma. Dá pra fazer rápido e sem calculadora.
Passo 6
Derivada parcial em relação a
:
.
Agora tratamos como constante e derivamos termo a termo:
Agora tratamos
- Para
: agora é constante; aplicando a regra da potência para :
- Para
: é linear em , derivada é o coeficiente:
- Para
: aqui não há , é constante em , então a derivada é :
Somando: