Derive as funções:
f(x, y)=2 x^{3} y^{2}+2 y+4 x

Passo 1

O enunciado nos dá a função f(x,y)=2x^{3}y^{2}+2y+4x. O que se pede (vou escrever aqui de forma explícita) é:
  • Calcular a derivada parcial de f em relação a x, isto é \dfrac{\partial f}{\partial x}.
  • Calcular a derivada parcial de f em relação a y, isto é \dfrac{\partial f}{\partial y}.
    As informações relevantes fornecidas são exatamente os três termos que compõem f: 2x^{3}y^{2}, 2y e 4x.

Passo 2

O que é uma derivada parcial? Aqui vai uma explicação bem prática e direta, como se estivéssemos no caderno:
  • A derivada parcial de f em relação a x, \dfrac{\partial f}{\partial x}, mede como f varia quando só muda x e y é mantido fixo.
  • A derivada parcial de f em relação a y, \dfrac{\partial f}{\partial y}, mede como f varia quando só muda y e x é mantido fixo.
    Formalmente a derivada parcial em x pode ser definida por limite, mas na prática de prova usamos as regras de derivação normais tratando a outra variável como constante.

Passo 3

Relembrando as regras básicas que vamos usar (e por que elas valem aqui):
  • Regra do somatório: a derivada de uma soma é a soma das derivadas. Assim podemos derivar termo a termo.
  • Regra do fator constante: se uma expressão é um produto de constante por uma função, a constante sai da derivada.
  • Regra da potência (para uma variável): \dfrac{d}{dx}x^{n}=n x^{n-1}. Quando outra variável aparece como fator (por exemplo y^{2}), ela é tratada como constante ao derivar em relação a x.
Vamos aplicar isso termo a termo.

Passo 4

Derivada parcial em relação a x: \dfrac{\partial f}{\partial x}.
Escrevendo f termo a termo:
f(x,y)=2x^{3}y^{2}+2y+4x.
Derivamos cada termo tratando y como constante:
  • Para 2x^{3}y^{2}: o fator y^{2} é constante; pela regra da constante e da potência:
\dfrac{\partial}{\partial x}\big(2x^{3}y^{2}\big)=2y^{2}\cdot\dfrac{d}{dx}\big(x^{3}\big)=2y^{2}\cdot 3x^{2}=6x^{2}y^{2}.
  • Para 2y: como aqui não há x (é constante em x), a derivada é 0:
\dfrac{\partial}{\partial x}\big(2y\big)=0.
  • Para 4x: é uma função linear em x, a derivada é o coeficiente:
\dfrac{\partial}{\partial x}\big(4x\big)=4.
Somando as contribuições:
\dfrac{\partial f}{\partial x}=6x^{2}y^{2}+0+4=6x^{2}y^{2}+4.

Passo 5

Pausa rápida de motivação (você consegue!): isso é exatamente o procedimento que vale na prova — pegue a função, separe em termos, trate a outra variável como constante e aplique potência/constante/soma. Dá pra fazer rápido e sem calculadora.

Passo 6

Derivada parcial em relação a y: \dfrac{\partial f}{\partial y}.
Agora tratamos x como constante e derivamos termo a termo:
  • Para 2x^{3}y^{2}: agora x^{3} é constante; aplicando a regra da potência para y^{2}:
\dfrac{\partial}{\partial y}\big(2x^{3}y^{2}\big)=2x^{3}\cdot\dfrac{d}{dy}\big(y^{2}\big)=2x^{3}\cdot 2y=4x^{3}y.
  • Para 2y: é linear em y, derivada é o coeficiente:
\dfrac{\partial}{\partial y}\big(2y\big)=2.
  • Para 4x: aqui não há y, é constante em y, então a derivada é 0:
\dfrac{\partial}{\partial y}\big(4x\big)=0.
Somando:
\dfrac{\partial f}{\partial y}=4x^{3}y+2+0=4x^{3}y+2.

Resposta

\dfrac{\partial f}{\partial x}=6x^{2}y^{2}+4
\dfrac{\partial f}{\partial y}=4x^{3}y+2

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