Derive as funções:
f(x, y, z)=4 x^{3} y^{2}-e^{z} y^{4}+\frac{z^{3}}{x^{2}}+4 y-x^{16}

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x,y,z)=4x^{3}y^{2}-e^{z}y^{4}+\frac{z^{3}}{x^{2}}+4y-x^{16}
e pede que se calcule as derivadas parciais em relação a x, y e z.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A função é de três variáveis: x, y e z.
  • Cada derivada parcial deve tratar as outras variáveis como constantes (por exemplo, ao derivar em relação a x, y e z são constantes).
  • Há termos que combinam potências, produto com constantes, uma exponencial em z e uma fração \dfrac{z^{3}}{x^{2}} que é conveniente reescrever como z^{3}x^{-2}.

Passo 2

Relembrando as regras que vou usar (cada fórmula isolada):
\frac{\partial}{\partial x}\big(x^{n}\big)=n x^{n-1}
\frac{\partial}{\partial x}\big(c\cdot g(x,y,\dots)\big)=c\cdot\frac{\partial}{\partial x}g(x,y,\dots)\quad\text{(constante \(c\) pode sair da derivada)}
\frac{\partial}{\partial x}\big(u(x,y)\,v(x,y)\big)=\frac{\partial u}{\partial x}v+u\frac{\partial v}{\partial x}\quad\text{(regra do produto, quando necessário)}á
\frac{\partial}{\partial x}\big(e^{h(x,y,\dots)}\big)=e^{h(x,y,\dots)}\cdot\frac{\partial h}{\partial x}\quad\text{(regra da cadeia)}
\frac{\partial}{\partial x}\big(h(x,y,\dots)^{-n}\big)=-n\,h^{-(n+1)}\frac{\partial h}{\partial x}\quad\text{(aplicação do power rule e cadeia)}çã
Observação prática: vou reescrever \dfrac{z^{3}}{x^{2}} como z^{3}x^{-2} para aplicar a regra de potência sobre x, lembrando que z^{3} é tratado como constante quando derivamos em relação a x.

Passo 3

Derivada parcial em relação a x. Vou derivar termo a termo, lembrando que y e z são constantes aqui.
Termo 1: \displaystyle 4x^{3}y^{2}
\frac{\partial}{\partial x}\big(4x^{3}y^{2}\big)=4y^{2}\cdot\frac{\partial}{\partial x}\big(x^{3}\big)=4y^{2}\cdot 3x^{2}=12x^{2}y^{2}
Termo 2: \displaystyle -e^{z}y^{4}
Como e^{z}y^{4} não depende de x (são constantes), sua derivada em relação a x é 0.
Termo 3: \displaystyle \frac{z^{3}}{x^{2}}=z^{3}x^{-2}
\frac{\partial}{\partial x}\big(z^{3}x^{-2}\big)=z^{3}\cdot\frac{\partial}{\partial x}\big(x^{-2}\big)=z^{3}\cdot(-2)x^{-3}=-2\frac{z^{3}}{x^{3}}
Termo 4: \displaystyle 4y
Não depende de x, então derivada é 0.
Termo 5: \displaystyle -x^{16}
\frac{\partial}{\partial x}\big(-x^{16}\big)=-16x^{15}
Somando os termos:
\frac{\partial f}{\partial x}=12x^{2}y^{2}-2\frac{z^{3}}{x^{3}}-16x^{15}

Passo 4

Derivada parcial em relação a y. Agora x e z são tratados como constantes.
Termo 1: \displaystyle 4x^{3}y^{2}
\frac{\partial}{\partial y}\big(4x^{3}y^{2}\big)=4x^{3}\cdot\frac{\partial}{\partial y}\big(y^{2}\big)=4x^{3}\cdot 2y=8x^{3}y
Termo 2: \displaystyle -e^{z}y^{4}
Aqui e^{z} é constante em relação a y, então
\frac{\partial}{\partial y}\big(-e^{z}y^{4}\big)=-e^{z}\cdot\frac{\partial}{\partial y}\big(y^{4}\big)=-e^{z}\cdot 4y^{3}=-4e^{z}y^{3}
Termo 3: \displaystyle \frac{z^{3}}{x^{2}}
Não depende de y, derivada é 0.
Termo 4: \displaystyle 4y
\frac{\partial}{\partial y}\big(4y\big)=4
Termo 5: \displaystyle -x^{16}
Não depende de y, derivada é 0.
Somando:
\frac{\partial f}{\partial y}=8x^{3}y-4e^{z}y^{3}+4

Passo 5

Derivada parcial em relação a z. Agora x e y são constantes.
Termo 1: \displaystyle 4x^{3}y^{2}
Independe de z, derivada é 0.
Termo 2: \displaystyle -e^{z}y^{4}
Aqui y^{4} é constante, e \dfrac{d}{dz}e^{z}=e^{z}, então
\frac{\partial}{\partial z}\big(-e^{z}y^{4}\big)=-y^{4}\cdot\frac{d}{dz}e^{z}=-y^{4}e^{z}=-e^{z}y^{4}
Termo 3: \displaystyle \frac{z^{3}}{x^{2}}=x^{-2}z^{3}
x^{-2} é constante, então
\frac{\partial}{\partial z}\big(x^{-2}z^{3}\big)=x^{-2}\cdot\frac{d}{dz}\big(z^{3}\big)=x^{-2}\cdot 3z^{2}=\frac{3z^{2}}{x^{2}}
Termo 4: \displaystyle 4y
Independe de z, derivada é 0.
Termo 5: \displaystyle -x^{16}
Independe de z, derivada é 0.
Somando:
\frac{\partial f}{\partial z}=-e^{z}y^{4}+\frac{3z^{2}}{x^{2}}

Resposta

\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}=12x^{2}y^{2}-2\frac{z^{3}}{x^{3}}-16x^{15}
\displaystyle \frac{\partial f}{\partial y}=8x^{3}y-4e^{z}y^{3}+4
\displaystyle \frac{\partial f}{\partial z}=-e^{z}y^{4}+\frac{3z^{2}}{x^{2}}

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