Derive as funções:
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede que se derivem as funções — isto é, que se calculem as derivadas parciais de
em relação a
, a
e a
.
Informações relevantes fornecidas:
Informações relevantes fornecidas:
- A função é dada explicitamente em termos de
, e . - Precisamos das derivadas parciais
, e . - Ao derivar parcialmente em relação a uma variável, as outras são tratadas como constantes.
Passo 2
Pequena aula-conceito (cadeia e regras básicas, explicada devagar):
- Regra da cadeia (versão para derivada parcial): se
é uma função de uma só variável e depende de várias variáveis, então
Aqui
é a derivada usual de
(como em cálculo de uma variável) avaliada em
, e
é a derivada parcial do “interior”
em relação a
.
- Derivadas que usaremos:
-
. -
. -
.
-
- Lembrete prático: ao fazer
de um termo que não depende de , o resultado é . Mesmo raciocínio para outras variáveis.
Passo 3
Derivada parcial em relação a
: calcular
termo a termo.
- Para o termo
: apliquei regra da cadeia com .
Como
, obtemos
- Para o termo
: seja . Pela cadeia,
Aqui
. Logo
- Para
: como não depende de ,
Somando os três resultados:
Passo 4
Derivada parcial em relação a
: calcular
termo a termo.
- Para
: agora . Aplicando a cadeia,
- Para
: tem . Assim
(Repare que o sinal negativo da frente do exponencial e o sinal negativo de
se cancelam.)
- Para
: .
Somando:
Passo 5
Derivada parcial em relação a
: calcular
termo a termo.
- Para
: não depende de , então
- Para
: com temos (derivada de é , e o sinal negativo permanece). Aplicando a cadeia,
- Para
: não depende de , então .
Somando: