Derive as funções:
f(x, y, z)=\cos \left(x^{3}+2 y\right)-e^{\left(4 x-z^{4} y\right)}+y^{3}

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x,y,z)=\cos\left(x^{3}+2y\right)-e^{\left(4x-z^{4}y\right)}+y^{3}
e pede que se derivem as funções — isto é, que se calculem as derivadas parciais de f em relação a x, a y e a z.
Informações relevantes fornecidas:
  • A função é dada explicitamente em termos de x, y e z.
  • Precisamos das derivadas parciais \dfrac{\partial f}{\partial x}, \dfrac{\partial f}{\partial y} e \dfrac{\partial f}{\partial z}.
  • Ao derivar parcialmente em relação a uma variável, as outras são tratadas como constantes.

Passo 2

Pequena aula-conceito (cadeia e regras básicas, explicada devagar):
  • Regra da cadeia (versão para derivada parcial): se F(u) é uma função de uma só variável e u=u(x,y,z) depende de várias variáveis, então
\frac{\partial}{\partial x}F(u(x,y,z))=F'(u(x,y,z))\cdot\frac{\partial u}{\partial x}.
Aqui F' é a derivada usual de F (como em cálculo de uma variável) avaliada em u(x,y,z), e \dfrac{\partial u}{\partial x} é a derivada parcial do “interior” u em relação a x.
  • Derivadas que usaremos:
    • \dfrac{d}{du}\cos(u)=-\sin(u).
    • \dfrac{d}{dv}e^{v}=e^{v}.
    • \dfrac{d}{dy}y^{3}=3y^{2}.
  • Lembrete prático: ao fazer \dfrac{\partial}{\partial x} de um termo que não depende de x, o resultado é 0. Mesmo raciocínio para outras variáveis.

Passo 3

Derivada parcial em relação a x: calcular \dfrac{\partial f}{\partial x} termo a termo.
  1. Para o termo \cos\left(x^{3}+2y\right): apliquei regra da cadeia com u(x,y,z)=x^{3}+2y.
\frac{\partial}{\partial x}\cos\left(x^{3}+2y\right)=-\sin\left(x^{3}+2y\right)\cdot\frac{\partial}{\partial x}\left(x^{3}+2y\right).
Como \dfrac{\partial}{\partial x}\left(x^{3}+2y\right)=3x^{2}+0=3x^{2}, obtemos
\frac{\partial}{\partial x}\cos\left(x^{3}+2y\right)=-3x^{2}\sin\left(x^{3}+2y\right).
  1. Para o termo -e^{\left(4x-z^{4}y\right)}: seja v(x,y,z)=4x-z^{4}y. Pela cadeia,
\frac{\partial}{\partial x}\left(-e^{v}\right)=-e^{v}\cdot\frac{\partial v}{\partial x}.
Aqui \dfrac{\partial v}{\partial x}=4. Logo
\frac{\partial}{\partial x}\left(-e^{\left(4x-z^{4}y\right)}\right)=-4e^{\left(4x-z^{4}y\right)}.
  1. Para y^{3}: como não depende de x,
\frac{\partial}{\partial x}y^{3}=0.
Somando os três resultados:
\frac{\partial f}{\partial x}=-3x^{2}\sin\left(x^{3}+2y\right)-4e^{\left(4x-z^{4}y\right)}.

Passo 4

Derivada parcial em relação a y: calcular \dfrac{\partial f}{\partial y} termo a termo.
  1. Para \cos\left(x^{3}+2y\right): agora \dfrac{\partial}{\partial y}\left(x^{3}+2y\right)=0+2=2. Aplicando a cadeia,
\frac{\partial}{\partial y}\cos\left(x^{3}+2y\right)=-\sin\left(x^{3}+2y\right)\cdot 2=-2\sin\left(x^{3}+2y\right).
  1. Para -e^{\left(4x-z^{4}y\right)}: v(x,y,z)=4x-z^{4}y tem \dfrac{\partial v}{\partial y}=-z^{4}. Assim
\frac{\partial}{\partial y}\left(-e^{v}\right)=-e^{v}\cdot(-z^{4})=z^{4}e^{\left(4x-z^{4}y\right)}.
(Repare que o sinal negativo da frente do exponencial e o sinal negativo de \dfrac{\partial v}{\partial y} se cancelam.)
  1. Para y^{3}: \dfrac{\partial}{\partial y}y^{3}=3y^{2}.
Somando:
\frac{\partial f}{\partial y}=-2\sin\left(x^{3}+2y\right)+z^{4}e^{\left(4x-z^{4}y\right)}+3y^{2}.

Passo 5

Derivada parcial em relação a z: calcular \dfrac{\partial f}{\partial z} termo a termo.
  1. Para \cos\left(x^{3}+2y\right): não depende de z, então
\frac{\partial}{\partial z}\cos\left(x^{3}+2y\right)=0.
  1. Para -e^{\left(4x-z^{4}y\right)}: com v(x,y,z)=4x-z^{4}y temos \dfrac{\partial v}{\partial z}=-4z^{3}y (derivada de z^{4} é 4z^{3}, e o sinal negativo permanece). Aplicando a cadeia,
\frac{\partial}{\partial z}\left(-e^{v}\right)=-e^{v}\cdot(-4z^{3}y)=4y z^{3} e^{\left(4x-z^{4}y\right)}.
  1. Para y^{3}: não depende de z, então \dfrac{\partial}{\partial z}y^{3}=0.
Somando:
\frac{\partial f}{\partial z}=4y z^{3} e^{\left(4x-z^{4}y\right)}.

Resposta

\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}=-3x^{2}\sin\left(x^{3}+2y\right)-4e^{\left(4x-z^{4}y\right)}\n
\displaystyle \frac{\partial f}{\partial y}=-2\sin\left(x^{3}+2y\right)+z^{4}e^{\left(4x-z^{4}y\right)}+3y^{2}\n
\displaystyle \frac{\partial f}{\partial z}=4y z^{3} e^{\left(4x-z^{4}y\right)}

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