Derive as funções:
f(x, y)=\left(\frac{x}{1+y}\right)

Passo 1

O enunciado nos dá a função \,f(x,y)=\left(\dfrac{x}{1+y}\right)\, e pede que a derivemos. Vou interpretar isso como calcular as derivadas parciais de primeira ordem em relação a x e a y e também apresentar o gradiente (vetor de derivadas parciais). Informações dadas:
  • A função é \,f(x,y)=\dfrac{x}{1+y}.
  • Não há restrições explícitas, mas note que \,1+y\neq0 (ou seja, \,y\neq-1) para que a função esteja bem definida.

Passo 2

O que é uma derivada parcial?
  • A derivada parcial de f em relação a x significa: variar x mantendo y fixo e ver a taxa de variação de f. Formalmente,
\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=\lim_{h\to0}\frac{f(x+h,y)-f(x,y)}{h}.
  • A derivada parcial de f em relação a y significa: variar y mantendo x fixo. Formalmente,
\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)=\lim_{h\to0}\frac{f(x,y+h)-f(x,y)}{h}.
Ferramentas úteis para calcular derivadas parciais: regras de derivação (regra do produto, regra da cadeia, regra do quociente). Aqui é prático reescrever a função como produto em que uma parte depende apenas de x e a outra apenas de y.

Passo 3

Reescrevendo a função de forma conveniente:
f(x,y)=\frac{x}{1+y}=x\,(1+y)^{-1}.
Esta forma é boa porque deixa explícito que, ao derivar em relação a x, (1+y)^{-1} é uma constante (já que y fica fixo). Ao derivar em relação a y, x é constante e aplicamos a regra da cadeia sobre (1+y)^{-1}.

Passo 4

Cálculo da derivada parcial em relação a x.
Como y é fixo, (1+y)^{-1} é constante. Logo a derivada de x multiplicada por essa constante é simplesmente:
\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=\frac{d}{dx}\big[x\big]\cdot(1+y)^{-1}=1\cdot(1+y)^{-1}=\frac{1}{1+y}.
Interpretação: para y fixo, f cresce linearmente com x com coeficiente \dfrac{1}{1+y}.

Passo 5

Cálculo da derivada parcial em relação a y.
Agora x é constante e usamos a regra da cadeia para (1+y)^{-1}. Passo a passo:
  • Considere g(y)=(1+y)^{-1}. A derivada g'(y) é dada por aplicar \dfrac{d}{dy}(u^{-1})=-1\cdot u^{-2}\cdot u' com u=1+y e u'=1. Assim
\frac{d}{dy}(1+y)^{-1}=-1\cdot(1+y)^{-2}.
  • Como f(x,y)=x\cdot(1+y)^{-1} e x é constante ao derivar em y,
\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)=x\cdot\frac{d}{dy}(1+y)^{-1}=x\cdot\big(-1\big)(1+y)^{-2}=-\frac{x}{(1+y)^{2}}.
Observação alternativa (regra do quociente): como f=\dfrac{x}{1+y} com numerador constante x, a derivada em relação a y via regra do quociente dá o mesmo resultado -x/(1+y)^{2}.

Passo 6

Escrevendo o gradiente (vetor das derivadas parciais):
\nabla f(x,y)=\left(\frac{\partial f}{\partial x}(x,y),\;\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)\right)=\left(\frac{1}{1+y},\;-\frac{x}{(1+y)^{2}}\right).
Pequena checagem numérica (exemplo): para (x,y)=(1,1), \partial f/\partial x=1/(1+1)=1/2 e \partial f/\partial y=-1/(1+1)^{2}=-1/4. Faz sentido com a fórmula.

Resposta

\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=\frac{1}{1+y}\n
\displaystyle \frac{\partial f}{\partial y}(x,y)=-\frac{x}{(1+y)^{2}}\n
\displaystyle \nabla f(x,y)=\left(\frac{1}{1+y},-\frac{x}{(1+y)^{2}}\right)

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