Derive as funções:
Passo 1
O enunciado nos dá a função
e pede que a derivemos. Vou interpretar isso como calcular as derivadas parciais de primeira ordem em relação a
e a
e também apresentar o gradiente (vetor de derivadas parciais). Informações dadas:
- A função é
. - Não há restrições explícitas, mas note que
(ou seja, ) para que a função esteja bem definida.
Passo 2
O que é uma derivada parcial?
- A derivada parcial de
em relação a significa: variar mantendo fixo e ver a taxa de variação de . Formalmente,
- A derivada parcial de
em relação a significa: variar mantendo fixo. Formalmente,
Ferramentas úteis para calcular derivadas parciais: regras de derivação (regra do produto, regra da cadeia, regra do quociente). Aqui é prático reescrever a função como produto em que uma parte depende apenas de
e a outra apenas de
.
Passo 3
Reescrevendo a função de forma conveniente:
Esta forma é boa porque deixa explícito que, ao derivar em relação a
,
é uma constante (já que
fica fixo). Ao derivar em relação a
,
é constante e aplicamos a regra da cadeia sobre
.
Passo 4
Cálculo da derivada parcial em relação a
.
Como é fixo,
é constante. Logo a derivada de
multiplicada por essa constante é simplesmente:
Como
Interpretação: para
fixo,
cresce linearmente com
com coeficiente
.
Passo 5
Cálculo da derivada parcial em relação a
.
Agora é constante e usamos a regra da cadeia para
. Passo a passo:
Agora
- Considere
. A derivada é dada por aplicar com e . Assim
- Como
e é constante ao derivar em ,
Observação alternativa (regra do quociente): como
com numerador constante
, a derivada em relação a
via regra do quociente dá o mesmo resultado
.
Passo 6
Escrevendo o gradiente (vetor das derivadas parciais):
Pequena checagem numérica (exemplo): para
,
e
. Faz sentido com a fórmula.