Derive as funções a seguir
Passo 1
O que o enunciado pede: derivar a função
.\n
Informações dadas e observações iniciais:
Informações dadas e observações iniciais:
- A função é
. - O argumento do log é
. - Como
para todo , a condição para o log estar definido é . Fatorando , isso vira , então é necessário , isto é . Portanto a função está definida para . - A pergunta é apenas a derivada
em termos de .
Passo 2
Primeiro simplificamos o interior do log para facilitar as contas. Fatorando
temos:
Isso é só álgebra básica de fator comum:
.
Passo 3
Usamos agora a regra da derivada do log composta (regra da cadeia). Se
, então
Explicando: a função
tem derivada
em relação a
, e por cadeia multiplicamos por
. Aqui
é a função dentro do log; vamos tomar
.
Passo 4
Calculamos
usando a regra do produto, porque
com
e
. A regra do produto diz
As derivadas úteis são: a derivada de
é
. Portanto a derivada de
é
. A derivada de
é
. Aplicando:
Passo 5
Agora simplificamos
por fator comum
:
Mostrei cada passo de fatoração e combinação de termos para você conseguir reproduzir na prova.
Passo 6
Voltando à fórmula da derivada do log,
Cancelamos o fator comum
no numerador e denominador (ele é sempre positivo, então o cancelamento é válido para
):
Observação sobre domínio: lembrando que a função original só existe para
, a derivada está válida nesse mesmo intervalo; para
o log não está definido.
Passo 7
Checagem alternativa (útil para a prova): usando propriedade de log,
, como
podemos escrever
Derivando essa forma dá
o mesmo resultado — ótimo para confirmar.