Derive as funções a seguir
y=\ln \left(e^{-x}+x e^{-x}\right)

Passo 1

O que o enunciado pede: derivar a função y=\ln\big(e^{-x}+x e^{-x}\big).\n
Informações dadas e observações iniciais:
  • A função é y=\ln\big(e^{-x}+x e^{-x}\big).
  • O argumento do log é e^{-x}+x e^{-x}.
  • Como e^{-x}>0 para todo x, a condição para o log estar definido é e^{-x}+x e^{-x}>0. Fatorando e^{-x}, isso vira e^{-x}(1+x)>0, então é necessário 1+x>0, isto é x>-1. Portanto a função está definida para x>-1.
  • A pergunta é apenas a derivada y' em termos de x.

Passo 2

Primeiro simplificamos o interior do log para facilitar as contas. Fatorando e^{-x} temos:
e^{-x}+x e^{-x}=e^{-x}(1+x).
Isso é só álgebra básica de fator comum: a b + a c = a(b+c).

Passo 3

Usamos agora a regra da derivada do log composta (regra da cadeia). Se y=\ln(u(x)), então
y'=\frac{u'(x)}{u(x)}.
Explicando: a função \ln tem derivada 1/u em relação a u, e por cadeia multiplicamos por u'(x). Aqui u(x) é a função dentro do log; vamos tomar u(x)=e^{-x}(1+x).

Passo 4

Calculamos u'(x) usando a regra do produto, porque u(x)=f(x)g(x) com f(x)=e^{-x} e g(x)=1+x. A regra do produto diz
(fg)'=f'g+fg'.
As derivadas úteis são: a derivada de e^{ax} é a e^{ax}. Portanto a derivada de e^{-x} é -e^{-x}. A derivada de 1+x é 1. Aplicando:
u'(x)=\big(e^{-x}\big)'(1+x)+e^{-x}\big(1+x\big)' = (-e^{-x})(1+x)+e^{-x}\cdot 1.

Passo 5

Agora simplificamos u'(x) por fator comum e^{-x}:
u'(x)=-e^{-x}(1+x)+e^{-x}=e^{-x}\big(-1-x+1\big)=e^{-x}(-x)=-x e^{-x}.
Mostrei cada passo de fatoração e combinação de termos para você conseguir reproduzir na prova.

Passo 6

Voltando à fórmula da derivada do log,
y'=\frac{u'(x)}{u(x)}=\frac{-x e^{-x}}{e^{-x}(1+x)}.
Cancelamos o fator comum e^{-x} no numerador e denominador (ele é sempre positivo, então o cancelamento é válido para x>-1):
y'=-\frac{x}{1+x}.
Observação sobre domínio: lembrando que a função original só existe para x>-1, a derivada está válida nesse mesmo intervalo; para x=-1 o log não está definido.

Passo 7

Checagem alternativa (útil para a prova): usando propriedade de log, \ln(ab)=\ln a+\ln b, como e^{-x}>0 podemos escrever
y=\ln\big(e^{-x}(1+x)\big)=\ln\big(e^{-x}\big)+\ln(1+x)=-x+\ln(1+x).
Derivando essa forma dá
y'=-1+\frac{1}{1+x}=-\frac{x}{1+x},
o mesmo resultado — ótimo para confirmar.

Resposta

\displaystyle y'=-\frac{x}{1+x}

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